Đề bài
Chứng minh từ tỉ lệ thức \[{a \over b} = {c \over d}\] thì ta suy ra được các tỉ lệ thức sau:
\[{{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}\] [với \[a + b \ne 0;\,\,\,c + d \ne 0\]]
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Đặt \[{a \over b} = {c \over d} = k \Rightarrow a = bk.c = dk\]
Ta có:
\[\left\{ \matrix{ {{a - b} \over {a + b}} = {{bk - b} \over {bk + b}} = {{b[k - 1]} \over {b[k + a]}} = {{k - 1} \over {k + 1}}[b \ne 0] \hfill \cr {{c - d} \over {c + d}} = {{dk - d} \over {dk + d}} = {{d[k - 1]} \over {d[k + 1]}} = {{k - 1} \over {k + 1}}[d \ne 0] \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow {{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}\] [với \[a + b \ne 0,c + d \ne 0]\]
Cách 2:
Nếu a = b thì c = d. Ta có \[{{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}[ = 0]\]
Nếu \[a \ne b\] thì \[c \ne d\] . Ta có \[{a \over b} = {c \over d} \Rightarrow {a \over c} = {b \over d} \Rightarrow {{a - b} \over {c - d}} = {{a + b} \over {c + d}} \Rightarrow {{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}\]