Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh:
a] DE vuông góc với BC.
b] BE vuông góc với DC.
Lời giải chi tiết
a] Gọi H là giao điểm của DE và BC.
Ta có: \[\widehat {ADE} + \widehat {AED} = 90^\circ\] [ADE vuông tại A]
\[\widehat {ADE} = \widehat {ECH}[ = 45^\circ ]\]
\[\widehat {AED} = \widehat {HEC}\] [hai góc đối đỉnh]
Do đó: \[\widehat {ECH} + \widehat {HEC} = 90^\circ\]
Mà \[\widehat {ECH} + \widehat {HEC} + \widehat {EHC} = 180^\circ\] [tổng ba góc trong một tam giác]
Nên \[90^\circ + \widehat {EHC} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {EHC} = 90^\circ \Rightarrow EH \bot BC \Rightarrow DE \bot BC.\]
b] BDC có: DE là đường cao \[[DE \bot BC],\]
CA là đường cao \[[CA \bot AB,D \in BA]\] và DE cắt CA tại E [gt]
Do đó E là trực tâm của BDC.
Vậy BE là đường cao của tam giác ABC. Nên \[BE \bot DC.\]