Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với kích thước đã ghi trên hình. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các trung điểm các cạnh bên.
a] Tính thể tích các khối chóp A.ABCD và S.MNPQ.
b] Tính thể tích khối chóp cụt MNPQ.ABCD.
Lời giải chi tiết
a] Thể tích khối chóp S.ABCD: \[{V_1} = {1 \over 3}.{S_{ABCD}}.SH = {1 \over 3}{.10^2}.12\]\[\, = 400[c{m^3}]\]
[với H là giao điểm của AC và DB]
Gọi K là giao điểm của MP và QN => SK là đường cao của khối chóp S.MNPQ
M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC [gt]
=> MP là đường trung bình của tam giác SAC
\[ \Rightarrow MP//AC \Rightarrow MK//AH[K \in MP,H \in AC]\]
SAH có MK // AH và M là trung điểm của SA [gt]
=> K là trung điểm của SH \[ \Rightarrow SK = {{SH} \over 2} = 6[cm]\]
Thế tích khối chóp S.MNPQ:
\[{V_2} = {1 \over 3}.{S_{MNPQ}}.SK = {1 \over 3}.M{N^2}.SK \]
\[\;\;\;\;\;= {1 \over 3}{\left[ {{{AB} \over 2}} \right]^2}.SK = {1 \over 3}{.5^2}.6 = 50[c{m^3}]\]
b] Thể tích khối chóp cụt đều MNPQ.ABCD:
Vcụt đều = V1 V2 = 400 -50 = 350 [cm3]