Đề bài
Tìm các căn bậc hai của các số phức:
-8 + 6i; 3 + 4i;\[1 - 2\sqrt 2 i\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi x+yi là căn bậc hai của a+bi, ta có:
[x+yi]2=a+bi [x2-y2]+2xyi=a+bi.
Giải hệ phương trình trên tìm x, y và kết luận.
Lời giải chi tiết
* Gọi x+yi là căn bậc hai của -8+6i, ta có:
[x+yi]2=-8+6i [x2-y2]+2xyi=-8+6i
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = - 8 \hfill \cr
2xy = 6 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{3}{x}\\
{x^2} - \frac{9}{{{x^2}}} = - 8
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{3}{x}\\
{x^4} + 8{x^2} - 9 = 0
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{3}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 1\\
{x^2} = - 9\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Hai căn bậc hai cần tìm là 1 + 3i và -1 3i
* Gọi x+yi là căn bậc hai của 3+4i, ta có:
[x+yi]2=3+4i [x2-y2]+2xyi=3+4i
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr
2xy = 4 \hfill \cr} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{2}{x}\\
{x^2} - \frac{4}{{{x^2}}} = 3
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{2}{x}\\
{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0
\end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{2}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = - 1\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.
\end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Hai căn bậc hai cần tìm là 2 + i; -2 i
* Gọi x+yi là căn bậc hai của \[1 - 2\sqrt 2 i\], ta có:
[x+yi]2=\[1 - 2\sqrt 2 i\]
[x2-y2]+2xyi=\[1 - 2\sqrt 2 i\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr
2xy = - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - \frac{{\sqrt 2 }}{x}\\
{x^2} - \frac{2}{{{x^2}}} = 1
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - \frac{{\sqrt 2 }}{x}\\
{x^4} - {x^2} - 2 = 0
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - \frac{{\sqrt 2 }}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 2\\
{x^2} = - 1\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = \sqrt 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = - \sqrt 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Hai căn bậc hai cần tìm là: \[\sqrt 2 - i;\,\, - \sqrt 2 + i\]