Đề bài
Cho hệ phương trình
\[\left[ I \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + by = c}\\{a'x + b'y = c'}\end{array}} \right.\] [ẩn là x và y] thỏa mãn điều kiện abc 0.
Chứng minh rằng :
a. Nếu \[\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\] thì hệ [I] có nghiệm duy nhất.
b. Nếu \[\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\] thì hệ [I] vô nghiệm.
c. Nếu \[\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\] thì hệ [I] có vô số nghiệm.
áp dụng. Tìm các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {a + 1} \right]x + 3y = a}\\{x + \left[ {a - 1} \right]y = 2}\end{array}} \right.\]
Có vô số nghiệm.
Lời giải chi tiết
Xét hệ phương trình [I] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + by = c}\\{a'x + b'y = c'}\end{array}} \right.\] [ẩn là x và y] với điều kiện abc 0.
a. Nếu \[\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\] thì \[D = ab' - a'b \ne 0\] nên hệ [I] có nghiệm duy nhất.
b. Nếu \[\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\] thì \[D = ab' - a'b = 0\] và \[{D_x} = cb' - c'b \ne 0\] nên hệ [I] vô nghiệm.
c. Nếu \[\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\] thì \[D = 0\] và \[{D_x} = cb' - c'b = {D_y} = ac' - a'c = 0\] nên hệ [I] có vô số nghiệm.
Chú ý. Kết quả trên vẫn đúng khi a = b = 0.
Áp dụng. Đối với hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {{\rm{a}} + 1} \right]x + 3y = a}\\{x + \left[ {{\rm{a}} - 1} \right]y = 2}\end{array},} \right.\] ta có
- Nếu a = 1 thì dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất.
- Nếu a 1 thì hệ có vô số nghiệm khi \[\dfrac{{a + 1}}{1} = \dfrac{3}{{a - 1}} = \dfrac{a}{2}.\] Giải ra ta được a = -2.