Đề bài
Câu I [3 điểm]. Xét tính đúng, sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.
a] \[\forall n \in \mathbb{N}\] : 4n2 chia hết cho n.
b] \[\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} - 6x + 10 > 0\]
c] \[\exists x \in \mathbb{Q}\,:\,{x^2} - 7 \ne 7x\]
d] Tổng ba góc của một tam giác bằng \[{180^0}\]
e] \[\sqrt 9 \] là số vô tỉ
f] Paris là thủ đô của nước Pháp
Câu II [3 điểm]. Cho các tập hợp
\[\begin{array}{l}A = \left\{ { - 3;5;6} \right\}\\B = \left\{ {x \in \mathbb{R}:{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0} \right\}\\C = \left\{ {x \in \mathbb{N}:[x - 2][{x^2} + 5x - 6] = 0} \right\}\end{array}\]
1] Viết tập hợp B và C dưới dạng liệt kê các phần tử. Tìm \[A \cap B;\,\;A \cup C\]
2] Tìm \[[A \cup B]\backslash C;\;[A\backslash B] \cap C\]
Câu III [3 điểm]. Biểu diễn các tập sau trên trục số và tìm \[A \cap B;\;A \cup B\].
a] \[A = \left[ { - 3;5} \right]\] và \[B = \left[ {1; + \infty } \right]\]
b] \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,:\,x \le 3} \right\}\] và \[B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,:\,\,\left| x \right| > 2} \right\}\]
Câu IV [1 điểm]. Cho hai tập hợp \[A = \left[ {a;a + 1} \right];\;B = \left[ {b;b + 2} \right]\]. Các số a và b thỏa mãn điều kiện gì để \[A \cap B \ne \emptyset \]?
Lời giải chi tiết
Câu I [3 điểm]. Xét tính đúng, sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.
a] \[\forall n \in \mathbb{N}\] : 4n2 chia hết cho n.
Mệnh đề sai vì với \[n = 0\] thì không có số nào chia hết cho \[0\].
MĐ phủ định: \[\exists n \in \mathbb{N}:\] \[4{n^2}\] không chia hết cho \[n\].
b] \[\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} - 6x + 10 > 0\]
Mệnh đề đúng vì:
\[\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 10\\ = {x^2} - 6x + 9 + 1\\ = {\left[ {x - 3} \right]^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\]
MĐ phủ định: \[\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} - 6x + 10 \le 0\]
c] \[\exists x \in \mathbb{Q}\,:\,{x^2} - 7 \ne 7x\]
Mệnh đề đúng, chẳng hạn \[x = 0 \in \mathbb{Q}\] mà \[{0^2} - 7 = - 7 \ne 7.0 = 0\].
MĐ phủ định: \[\forall x \in \mathbb{Q}:{x^2} - 7 = 7x\].
d] Tổng ba góc của một tam giác bằng \[{180^0}\]
MĐ đúng theo định lý tổng ba góc của một tam giác.
MĐ phủ định: Tổng ba góc của một tam giác không bằng \[{180^0}\].
e] \[\sqrt 9 \] là số vô tỉ
MĐ sai vì \[\sqrt 9 = 3\] là số hữu tỉ.
MĐ phủ định: \[\sqrt 9 \] không là số vô tỉ.
f] Paris là thủ đô của nước Pháp.
MĐ đúng.
MĐ phủ định: Paris không là thủ đô của nước Pháp.
Câu II [3 điểm]. Cho các tập hợp
\[\begin{array}{l}A = \left\{ { - 3;5;6} \right\}\\B = \left\{ {x \in \mathbb{R}:{x^2} - 4x - 5 = 0} \right\}\\C = \left\{ {x \in \mathbb{N}:[x - 2][{x^2} + 5x - 6] = 0} \right\}\end{array}\]
1] Viết tập hợp B và C dưới dạng liệt kê các phần tử. Tìm \[A \cap B;\,\;A \cup C\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{x^2} - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow B = \left\{ { - 1;5} \right\}\\\left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 5x - 6} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 5x - 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \mathbb{N}\\x = 1 \in \mathbb{N}\\x = - 6 \notin \mathbb{N}\end{array} \right.\\ \Rightarrow C = \left\{ {1;2} \right\}\\A = \left\{ { - 3;5;6} \right\},B = \left\{ { - 1;5} \right\},\\C = \left\{ {1;2} \right\}\\ \Rightarrow A \cap B = \left\{ 5 \right\}\\A \cup C = \left\{ {1;2; - 3;5;6} \right\}\end{array}\]
2] Tìm \[[A \cup B]\backslash C;\;[A\backslash B] \cap C\]
\[\begin{array}{l}A \cup B = \left\{ { - 3; - 1;5;6} \right\}\\\left[ {A \cup B} \right]\backslash C = \left\{ { - 3; - 1;5;6} \right\}\\A\backslash B = \left\{ { - 3;6} \right\}\\\left[ {A\backslash B} \right] \cap C = \emptyset \end{array}\]
Câu III [3 điểm]. Biểu diễn các tập sau trên trục số và tìm \[A \cap B;\;A \cup B\].
a] \[A = \left[ { - 3;5} \right]\] và \[B = \left[ {1; + \infty } \right]\]
\[\begin{array}{l}A \cap B = \left[ {1;5} \right]\\A \cup B = \left[ { - 3; + \infty } \right]\end{array}\]
b] \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,:\,x \le 3} \right\}\] và \[B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,:\,\,\left| x \right| > 2} \right\}\]
\[\begin{array}{l}A = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \le 3} \right\} = \left[ { - \infty ;3} \right]\\\left| x \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow B = \left[ { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right]\end{array}\]
\[\begin{array}{l}A \cap B = \left[ { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]\\A \cup B = \mathbb{R}\end{array}\]
Câu IV [1 điểm]. Cho hai tập hợp \[A = \left[ {a;a + 1} \right];\;B = \left[ {b;b + 2} \right]\]. Các số a và b thỏa mãn điều kiện gì để \[A \cap B \ne \emptyset \]
Ta có:
\[A \cap B = \emptyset \]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1 < b}\\{a > b + 2}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b > a + 1}\\{b < a - 2}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow A \cap B \ne \emptyset \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le a + 1\\b \ge a - 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow a - 2 \le b \le a + 1\]
Vậy để \[A \cap B \ne \emptyset \] thì \[a - 2 \le b \le a + 1\].