Đề bài
Câu 1: Cho hàm \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\], \[{x_0} \in \left[ {a;b} \right]\]. Tính\[f'\left[ {{x_0}} \right]\] bằng định nghĩa ta cần tính:
A. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\]. B. \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\].
C. \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}}\]. D. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{x}\].
Câu 2: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hàm số \[y = 5{x^3} + x - 2\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].
B. Hàm số \[y = \frac{{3x - 5}}{{x + 3}}\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].
C. Hàm số \[y = \frac{{2{x^2} - x}}{{x + 1}}\] liên tục trên khoảng \[[ - \infty ; - 1]\] và \[[ - 1; + \infty ]\]
D. Hàm số \[y = {x^5} + 3{x^3} + 5\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Câu 3: Cho hình lập phương \[ABCD.EFGH\][tham khảo hình vẽ bên] có cạnh bằng 5 cm. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và HF ta được
A. \[5\sqrt 3 \,cm\]. B. \[5\,cm\].
C. \[5\sqrt 2 \,cm\]. D. \[9\,cm\].
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số \[y = 2\sin x + 2020.\]
A. \[y' = 2\sin x\].
B. \[y' = - 2\cos x\].
C. \[y' = 2\cos x\].
D. \[y' = - 2\sin x\].
Câu 5: Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là:
A. \[\lim \,[ - 3{n^4} + 3] = - \infty \].
B. \[\lim \,[ - 3{n^4} + 3] = 0\].
C. \[\lim \,[ - {n^4} + 2] = + \infty \].
D. \[\lim \,[5{n^4} - 2] = - \infty \].
Câu 6: Cho hàm số \[y = {x^3} - 3x + 1.\] Tìm \[dy.\]
A. \[dy = [{x^2} - 1]dx\].
B. \[dy = [{x^3} - 3x + 1]dx\].
C. \[dy = [3{x^2} - 3]dx\].
D. \[dy = [3{x^3} - 3]dx\]
Câu 7: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\]. Kết quả đúng là:
A. \[3\] B. \[\frac{5}{2}\] .
C. \[ - 2\]. D. \[2\]
Câu 8: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc [xem hình vẽ]. Chọn khẳng định sai khi nói về hai mặt phẳng vuông góc.
A. \[[OAB] \bot [ABC]\].
B. \[[OAB] \bot [OAC]\].
C. \[[OBC] \bot [OAC]\].
D. \[[OAB] \bot [OBC]\].
Câu 9: Container của xe tải dùng để chở hàng hóa thường có dạng hình hộp chữ nhật. Chúng ta mô hình hóa thùng container bằng hình hộp chữ nhật \[MNPQ.EFGH\] [tham khảo hình vẽ bên dưới]. Chọn khẳng định sai khi nói về hai đường thẳng vuông góc trong các khẳng định sau.
A. \[HE \bot NF\].
B. \[HE \bot MN\].
C. \[HE \bot GP\].
D. \[HE \bot QN\].
Câu 10: Cho hàm số\[f\left[ x \right] = {x^3} - 3{x^2} + 1\]. Tính \[f''\left[ x \right]\].
A. \[f''\left[ x \right] = 6x-6\].
B. \[f''\left[ x \right] = x-1\].
C. \[f''\left[ x \right] = {x^2} - 2x\].
D. \[f''\left[ x \right] = 3{x^2} - 6x\].
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số \[f[x] = 3{x^3}\].
A. \[6{x^2}\]. B. \[{x^2}\].
C. \[6x\]. D. \[9{x^2}\].
Câu 12: Cho lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[\Delta A'B'C'\] vuông tại \[B'\] [xem hình vẽ]. Hỏi đường thẳng \[B'C'\] vuông góc với mặt phẳng nào được liệt kê ở bốn phương án dưới đây ?
A. \[[BB'A']\]. B. \[[AA'C']\].
C. \[[ABC]\]. D. \[[ACC']\].
Câu 13: Cho hình hộp \[ABCD.EFGH\] [tham khảo hình vẽ]. Tính tổng ba véctơ \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \] ta được
A. \[\overrightarrow {AG} \]. B. \[\overrightarrow {AH} \].
C. \[\overrightarrow {AF} \]. D. \[\overrightarrow {AC} \].
Câu 14: Trong hình học không gian thì hình nào bên dưới là hình biểu diễn của hình vuông qua phép chiếu song song ?
Câu 15: Vi phân của hàm số\[y\,\, = \,\cos 2x + \cot x\] là:
A. \[dy\,\, = \,\,\left[ { - 2\cos 2x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right]dx\]
B. \[dy\,\, = \,\,\left[ {2\sin 2x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right]dx\].
C. \[dy\,\, = \,\,\left[ { - 2\cos 2x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right]dx\].
D. \[dy\,\, = \,\,\left[ { - 2\sin 2x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right]dx\].
Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các giới hạn dưới đây:
A. \[\lim \frac{{3{n^2} - 14}}{{10n + 2}} = \frac{3}{{10}}\].
B. \[\lim \frac{{5n - 4}}{{{n^2} - 1}} = 5\].
C. \[\lim \frac{{ - 2{n^2} - 1}}{{5{n^2} - 8}} = - \frac{2}{5}\].
D. \[\lim \frac{{{n^2} - 5}}{{n + 4}} = 0\].
Câu 17: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + x - 12}}{{x - 3}}\]. Kết quả đúng là:
A. \[ - 7\]. B. \[0\]
C. \[7\] D. \[ - 1\].
Câu 18: Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \[[\alpha ]\] và đường thẳng \[\Delta \] khác d. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Đường thẳng \[\Delta \,{\rm{//}}\,d\] thì \[\Delta \bot [\alpha ]\].
B. Đường thẳng \[\Delta \,{\rm{//}}\,d\] thì \[\Delta \,{\rm{//}}\,[\alpha ]\].
C. Đường thẳng \[\Delta \,{\rm{//}}\,[\alpha ]\] thì \[\Delta \, \bot \,d\].
D. Đường thẳng \[\Delta \bot [\alpha ]\] thì \[\Delta \,{\rm{//}}\,d\].
Câu 19: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?
A. Hai mặt phẳng vuông góc thì chúng cắt nhau.
B. Hai mặt phẳng cắt nhau thì không vuông góc.
C. Hai mặt phẳng vuông góc thì góc của chúng bằng \[90^\circ \].
D. Hai mặt phẳng có góc bằng \[90^\circ \] thì chúng vuông góc.
Câu 20: Cho hàm số\[f\left[ x \right] = {\left[ {2x + 1} \right]^{12}}\]. Tính \[f''\left[ 0 \right]\].
A. \[f''\left[ x \right] = 132\].
B. \[f''\left[ 0 \right] = 528\].
C. \[f''\left[ 0 \right] = 240\].
D. \[f''\left[ 0 \right] = 264\].
Câu 21: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 0\] là:
A. \[1\]. B. \[ - 2\].
C. \[ - 1\]. D. \[2\].
Câu 22: Tìm số gia \[\Delta y\] của hàm số \[y = {x^2}\] biết \[{x_0} = 3\] và \[\Delta x = - 1.\]
A. \[\Delta y = 13\]. B. \[\Delta y = 7\].
C. \[\Delta y = - 5\]. D. \[\Delta y = 16\] .
Câu 23: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right]\]. Kết quả đúng là:
A. \[0\] B. \[ - \infty \].
C. \[ + \infty \]. D. \[2\]
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh bằng 6 cm. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \[[SCD]\]
A. \[5\sqrt 6 \,cm\]. B. \[15\sqrt 6 \,cm\].
C. \[2\sqrt 6 \,cm\]. D. \[4\sqrt 6 \,cm\].
Câu 25: Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\]. Nếu\[y' > 0\] thì x thuộc tập hợp nào sau đây:
A. \[\left[ { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right]\].
B. \[\left[ { - 3; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right]\].
C. \[\left[ { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\].
D. \[\left[ { - 3; - 1} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\].
Câu 26: Chọn kết quả sai trong các giới hạn dưới đây:
A. \[\lim \frac{{{{5.4}^n} + {{7.2}^n} - {3^n}}}{{{{4.4}^n} - {{2.3}^n}}} = \frac{5}{4}\].
B. \[\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 4} - n}}{{{n^2}}} = 0\].
C. \[\lim \frac{{{3^n} + {{4.5}^n} - {8^n}}}{{{{3.8}^n} + {{2.6}^n}}} = - \frac{1}{3}\].
D. \[\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4} + n}}{n} = 3\].
Câu 27: Cho hàm số \[y = \cos \sqrt {2{x^2} - x + 7} \]. Khi đó \[y'\] bằng
A. \[y' = - \sin \sqrt {2{x^2} - x + 7} \].
B. \[y' = [1 - 4x]\sin \sqrt {2{x^2} - x + 7} \].
C. \[y' = \frac{{\left[ {1 - 4x} \right]\sin \sqrt {2{x^2} - x + 7} }}{{2\sqrt {2{x^2} - x + 7} }}\].
D. \[y' = \left[ {2{x^2} - x + 7} \right]\sin \sqrt {2{x^2} - x + 7} \].
Câu 28: Cho hình chóp tam giác \[S.ABC\] có mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {SAC} \right]\] cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa mặt phẳng \[\left[ {SBC} \right]\] và mặt đáy bằng \[{60^0}\] cạnh \[AB = 4cm;\,\,BC = 6cm;\,\,CA = 8cm\]. Tính độ dài cạnh SA của hình chóp.
A. \[\sqrt 5 \,cm\]. B. \[2\sqrt 3 \,cm\].
C. \[6\sqrt 3 \,cm\]. D. \[3\sqrt 5 \,cm\].
Câu 29: Gọi [C] là đồ thị của hàm số\[y = {[x - 1]^3}\]. Tiếp tuyến của [C] song song với đường thẳng \[\Delta :12x - y - 2018 = 0\] có phương trình là:
A. \[y = - 12x - 4\] và \[y = - 12x + 4.\]
B. \[y = 12x + 28\] và \[y = 12x - 4\].
C. \[y = - 12x - 28\] và \[y = 12x + 28\].
D. \[y = 12x - 28\] và \[y = 12x + 4\].
Câu 30: Cho hàm số \[f[x] = \left\{ \begin{array}{l}2b{x^2} - 4\,\,\,khi\,\,\,x \le 3\\\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.\]. Hàm số liên tục trên \[\mathbb{R}\] khi giá trị của b là:
A. \[\frac{1}{{18}}\] . B. \[2\]
C. \[18\] D. \[\frac{1}{2}\].
II. PHẦN TỰ LUẬN [4.0 điểm] [Học sinh viết bài làm vào giấy, ghi rõ mã đề]
Bài 1: [1,0 điểm] Tính các giới hạn sau:
a] \[\lim \frac{{4n + 9}}{{6n - 7}}\]
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{2 - 5x - 3{x^2}}}{{2x + 4}}\].
Bài 2: [1,0 điểm] Tính đạo hàm của các hàm số:
a]\[y = {x^3} + 4{x^2} - 2x + 1\] tại \[{x_0} = - 4\]
b] \[y = \sqrt {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}} \]
Bài 3: [0,5 điểm] Cho hàm của các hàm số
\[y = \frac{{m-1}}{{12}}{x^4}-\frac{{m + 1}}{3}{x^3}\]\[ + \frac{{{\rm{3[}}m - 2]}}{2}{x^2} + 7x + 2020\]
Tìm \[m\] để \[y'' < 0\] vô nghiệm.
Bài 4: [1,5 điểm] Cho hình chóp \[S.ABCD\], có \[ABCD\] là hình vuông tâm O có cạnh \[a\], \[SA = a\sqrt 5 \] và \[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\].
a] Chứng minh rằng: \[CD \bot \left[ {SAD} \right]\].
b] Chứng minh rằng: \[\left[ {SAC} \right] \bot \left[ {SBD} \right]\].
c] Tính khoảng cách giữa \[AB\] và \[\left[ {SCD} \right]\].
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1B |
2B |
3B |
4C |
5A |
6C |
7D |
8A |
9D |
10A |
11D |
12A |
13A |
14B |
15D |
16C |
17C |
18B |
19B |
20B |
21D |
22C |
23A |
24C |
25A |
26D |
27C |
28D |
29D |
30D |
Câu 1 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Cách giải:
Tính\[f'\left[ {{x_0}} \right]\] bằng định nghĩa ta cần tính \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\].
Chọn B.
Câu 2 [TH]:
Phương pháp:
Hàm phân thức, hàm đa thức liên tục trên các tập xác định của chúng.
Cách giải:
Hàm số \[y = \frac{{3x - 5}}{{x + 3}}\] có TXĐ \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\]
\[ \Rightarrow \] Hàm số không liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Vậy khẳng định B sai.
Chọn B.
Câu 3 [TH]:
Phương pháp:
Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường \[AD\] và \[HF\].
Cách giải:
Ta có \[HD \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow HD \bot AB\]
\[HD \bot \left[ {EFGH} \right] \Rightarrow HD \bot HF\]
\[ \Rightarrow HD\] là đoạn vuông góc chung của \[AD\] và \[HF\]\[ \Rightarrow d\left[ {AD;HF} \right] = HD = 5\].
Chọn B.
Câu 4 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {\sin x} \right]' = \cos x\].
Cách giải:
Ta có: \[y' = 2\cos x\].
Chọn C.
Câu5 [TH]:
Phương pháp:
Tính giới hạn từng đáp án và kết luận.
Cách giải:
Ta có: \[\lim \,[ - 3{n^4} + 3]\]\[ = \lim {n^4}\left[ { - 3 + \frac{3}{{{n^4}}}} \right] = - \infty \]
Đáp án A đúng.
Chọn A.
Câu 6 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức vi phân \[y = f\left[ x \right] \Rightarrow dy = f'\left[ x \right]dx\].
Cách giải:
\[dy = \left[ {{x^3} - 3x + 1} \right]'dx\]\[ = \left[ {3{x^2} - 3} \right]dx\].
Chọn C.
Câu 7 [NB]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0}\]\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\]\[ = \frac{{{{2.1}^2} + 3.1 - 1}}{{1 + 1}} = \frac{4}{2} = 2\].
Chọn D.
Câu 8 [TH]:
Phương pháp:
\[\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left[ P \right]\\d \subset \left[ Q \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\].
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left[ {OAB} \right]\].
Mà \[\left\{ \begin{array}{l}OC \subset \left[ {OAC} \right]\\OC \subset \left[ {OBC} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {OAB} \right] \bot \left[ {OAC} \right]\\\left[ {OAB} \right] \bot \left[ {OBC} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow B,D\] đúng.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left[ {OBC} \right]\].
Mà \[OA \subset \left[ {OAC} \right]\]\[ \Rightarrow \left[ {OAC} \right] \bot \left[ {OBC} \right]\] \[ \Rightarrow C\] đúng.
Chọn A.
Câu 9 [TH]:
Phương pháp:
Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
Cách giải:
Ta có \[HE \bot \left[ {MNEF} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HE \bot NF\\HE \bot MN\end{array} \right.\]
\[HE \bot \left[ {GHPQ} \right] \Rightarrow HE \bot GP\].
Vậy chỉ có khẳng định D sai.
Chọn D.
Câu 10 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\,\,\left[ {x \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
Ta có \[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 6x\]\[ \Rightarrow f''\left[ x \right] = 6x - 6\]
Chọn A.
Câu 11 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\,\,\left[ {x \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
\[f'\left[ x \right] = 3.3{x^2} = 9{x^2}\].
Chọn D.
Câu 12 [TH]:
Phương pháp:
\[\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left[ P \right]\].
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot BB'\\B'C' \bot A'B'\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow B'C' \bot \left[ {BB'A'} \right]\]
\[ \Rightarrow A\] đúng.
Chọn A.
Câu 13 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức hình bình hành.
Cách giải:
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \]\[ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \].
Chọn A.
Câu 14 [NB]:
Cách giải:
Chọn B.
Câu 15 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức vi phân \[y = f\left[ x \right]\]\[ \Rightarrow dy = f'\left[ x \right]dx\].
Cách giải:
\[dy = \left[ {\cos 2x + \cot x} \right]'dx\]\[ = \left[ { - 2\sin 2x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right]dx\] .
Chọn D.
Câu 16 [TH]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất.
Cách giải:
\[\lim \frac{{ - 2{n^2} - 1}}{{5{n^2} - 8}}\]\[ = \lim \frac{{ - 2 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{5 - \frac{8}{{{n^2}}}}} = - \frac{2}{5}\]
\[ \Rightarrow \] Đáp án C đúng.
Chọn C.
Câu 17 [TH]:
Phương pháp:
Phân tích, rút gọn, khử dạng \[\frac{0}{0}\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + x - 12}}{{x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 4} \right]}}{{x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {x + 4} \right] = 7\end{array}\].
Chọn C.
Câu 18:
Cách giải:
Khẳng định sai là B.
Chọn B.
Câu 19 [TH]:
Cách giải:
Hai mặt phẳng cắt nhau thì không vuông góc là khẳng định sai.
Chọn B.
Câu 20 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {{u^n}} \right]' = n{u^{n - 1}}u'\,\,\left[ {u \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = 12{\left[ {2x + 1} \right]^{11}}\left[ {2x + 1} \right]'\\ = 24{\left[ {2x + 1} \right]^{11}}\\f''\left[ x \right] = 24.11{\left[ {2x + 1} \right]^{10}}.\left[ {2x + 1} \right]'\\ = 528{\left[ {2x + 1} \right]^{10}}\\ \Rightarrow f''\left[ 0 \right] = {528.1^{10}} = 528\end{array}\]
Chọn B.
Câu 21 [TH]:
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[f'\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow {x_0} = 0 \in D\].
Ta có: \[y' = \frac{{1 + 1}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = \frac{2}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\].
\[ \Rightarrow \] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 0\] là: \[k = \frac{2}{{{{\left[ {0 + 1} \right]}^2}}} = 2\].
Chọn D.
Chú ý: Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm \[\left[ {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right]' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left[ {cx + d} \right]}^2}}}\].
Câu 22 [TH]:
Phương pháp:
Số gia \[\Delta y\] của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[x = {x_0}\] ứng với số gia \[\Delta x\] là \[\Delta y = f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Đặt \[y = {x^2} = f\left[ x \right]\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]\\ = f\left[ {3 - 1} \right] - f\left[ 3 \right]\\ = f\left[ 2 \right] - f\left[ 3 \right] = {2^2} - {3^2}\\ = - 5\end{array}\]
Chọn C.
Câu 23 [VD]:
Phương pháp:
Nhân chia cho biểu thức liên hợp của \[\sqrt {{x^2} + 4} + x\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left[ {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 4} - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 4 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{4}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}}} - 1}}\\ = \frac{0}{{ - 2}} = 0\end{array}\]
Chọn A.
Câu 24 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức đổi đỉnh tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left[ {SOM} \right]\].
Trong \[\left[ {SOM} \right]\] kẻ \[OH \bot SM\] ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left[ {SCD} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {O;\left[ {SCD} \right]} \right] = OH\].
Ta có \[BO \cap \left[ {SCD} \right] = D\]\[ \Rightarrow \frac{{d\left[ {B;\left[ {SCD} \right]} \right]}}{{d\left[ {O;\left[ {SCD} \right]} \right]}} = \frac{{BD}}{{OD}} = 2\].
\[ \Rightarrow d\left[ {B;\left[ {SCD} \right]} \right]\]\[ = 2d\left[ {O;\left[ {SCD} \right]} \right] = 2OH\].
Ta có \[OM\] là đường trung bình của \[\Delta ACD\]
\[ \Rightarrow OM = \frac{1}{2}AD = 3\,\,\left[ {cm} \right]\].
Trong \[\Delta SOC\] có: \[SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} \]\[ = \sqrt {{6^2} - {{\left[ {\frac{{6\sqrt 2 }}{2}} \right]}^2}} = 3\sqrt 2 \] [cm].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SOM\] ta có: \[OH = \frac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }}\]\[ = \frac{{3\sqrt 2 .3}}{{\sqrt {18 + 9} }} = \sqrt 6 \].
Vậy \[d\left[ {B;\left[ {SCD} \right]} \right] = 2\sqrt 6 \,\,\left[ {cm} \right]\].
Chọn C.
Câu 25 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm \[\left[ {\frac{u}{v}} \right]' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\].
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}y' = \frac{{2x\left[ {x + 1} \right] - \left[ {{x^2} + 3} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \frac{{2{x^2} + 2x - {x^2} - 3}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 > 0\\ \Leftrightarrow x \in \left[ { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right]\end{array}\].
Chọn A.
Câu 26 [VD]:
Phương pháp:
Đáp án A: Chia cả tử và mẫu cho \[{4^n}\].
Đáp án B: Chia cả tử và mẫu cho \[{n^2}\].
Đáp án C: Chia cả tử và mẫu cho \[{8^n}\].
Đáp án D: Chia cả tử và mẫu cho \[n\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l} + ]\,\,\lim \frac{{{{5.4}^n} + {{7.2}^n} - {3^n}}}{{{{4.4}^n} - {{2.3}^n}}}\\ = \lim \frac{{5 + 7.{{\left[ {\frac{2}{4}} \right]}^n} - {{\left[ {\frac{3}{4}} \right]}^n}}}{{4 - 2{{\left[ {\frac{3}{4}} \right]}^n}}} = \frac{5}{4}\\ + ]\,\,\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 4} - n}}{{{n^2}}}\\ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{9}{{{n^2}}} + \frac{4}{{{n^4}}}} - \frac{1}{n}}}{1} = 0\\ + ]\,\,\lim \frac{{{3^n} + {{4.5}^n} - {8^n}}}{{{{3.8}^n} + {{2.6}^n}}}\\ = \lim \frac{{{{\left[ {\frac{3}{8}} \right]}^n} + 4{{\left[ {\frac{5}{8}} \right]}^n} - 1}}{{3 + 2{{\left[ {\frac{6}{8}} \right]}^n}}}\\ = - \frac{1}{3}\\ + ]\,\,\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4} + n}}{n}\\ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}} + 1}}{1} = 1\end{array}\]
Chọn D.
Câu 27 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức
\[\begin{array}{l}\left[ {\cos u} \right]' = - u'.\sin u\\\left[ {\sqrt u } \right]' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\end{array}\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}y' = - \left[ {\sqrt {2{x^2} - x + 7} } \right]'sin\sqrt {2{x^2} - x + 7} \\y' = - \frac{{\left[ {2{x^2} - x + 7} \right]'}}{{2\sqrt {2{x^2} - x + 7} }}sin\sqrt {2{x^2} - x + 7} \\y' = \frac{{ - 4x + 1}}{{2\sqrt {2{x^2} - x + 7} }}sin\sqrt {2{x^2} - x + 7} \\y' = \frac{{\left[ {1 - 4x} \right]sin\sqrt {2{x^2} - x + 7} }}{{2\sqrt {2{x^2} - x + 7} }}\end{array}\]
Chọn C.
Câu 28 [VD]:
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {ABC} \right]\\\left[ {SAC} \right] \bot \left[ {ABC} \right]\\\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SAC} \right] = SA\end{array} \right. \]\[\Rightarrow SA \bot \left[ {ABC} \right]\].
Xét tam giác \[ABC\] ta có
\[\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\]\[ = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} = - \frac{1}{4} < 0\]
\[ \Rightarrow \widehat B > {90^0}\]
Trong \[\left[ {ABC} \right]\] dựng \[AH \bot BC\,\,\left[ {H \in BC} \right]\] ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAH} \right]\]\[ \Rightarrow BC \bot SH\].
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SBC} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = BC\\\left[ {SBC} \right] \supset SH \bot \left[ {ABC} \right]\\\left[ {ABC} \right] \supset AH \bot \left[ {ABC} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \angle \left[ {\left[ {SBC} \right];\left[ {ABC} \right]} \right]\] \[ = \angle \left[ {SH;AH} \right] = \angle SHA = {60^0}\] .
Xét tam giác vuông \[AHB\] có \[BH = AB.\cos \angle ABH\]\[ = 4.\frac{1}{4} = 1\].
\[ \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} \]\[ = \sqrt {{4^2} - {1^2}} = \sqrt {15} \].
Xét tam giác vuông \[SAH\] có: \[SA = AH.\tan {60^0}\]\[ = \sqrt {15} .\sqrt 3 = 3\sqrt 5 \].
Chọn D.
Câu 29 [VD]:
Phương pháp:
+] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[k = f'\left[ {{x_0}} \right]\].
+] Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[\Delta :\,\,12x - y - 2018 = 0\]\[ \Leftrightarrow y = 12x - 2018\] \[ \Rightarrow k = 12\].
Cách giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {\left[ {x - 1} \right]^3}\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[k = 3{\left[ {{x_0} - 1} \right]^2}\].
Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[\Delta :\,\,12x - y - 2018 = 0\]\[ \Leftrightarrow y = 12x - 2018\] \[ \Rightarrow k = 12\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 3{\left[ {{x_0} - 1} \right]^2} = 12\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x_0} - 1} \right]^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 2\\{x_0} - 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\end{array}\].
Với \[{x_0} = 3\], phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[y = 12\left[ {x - 3} \right] + 8\]\[ = 12x - 28\,\,\,\left[ {tm} \right]\] .
Với \[{x_0} = - 1\], phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[y = 12\left[ {x + 1} \right] - 8\]\[ = 12x + 4\,\,\,\left[ {tm} \right]\] .
Chọn D.
Câu 30 [VD]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0}\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Hàm số liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;3} \right]\] và \[\left[ {3; + \infty } \right]\]. Để hàm số liên tục trên \[\mathbb{R}\] thì hàm số phải liên tục tại \[x = 3\].
Ta có
\[\begin{array}{l} + ]\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} 5 = 5\\ + ]\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {2b{x^2} - 4} \right]\\ = 18b - 4\\ + ]\,\,f\left[ 3 \right] = 18b - 4\end{array}\]
Hàm số liên tục tại \[x = 3\]\[ \Leftrightarrow 18b - 4 = 5 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\].
Vậy hàm số đã cho liên tục trên \[\mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\].
Chọn D.
II. PHẦN TỰ LUẬN [4.0 điểm] [Học sinh viết bài làm vào giấy, ghi rõ mã đề]
Bài 1 [TH]:
Phương pháp:
a] Chia cả tử và mẫu cho \[n\].
b] Phân tích, rút gọn để khử dạng \[\frac{0}{0}\].
Cách giải:
a] \[\lim \frac{{4n + 9}}{{6n - 7}} = \lim \frac{{4 + \frac{9}{n}}}{{6 - \frac{7}{n}}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\].
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{2 - 5x - 3{x^2}}}{{2x + 4}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {1 - 3x} \right]}}{{2\left[ {x + 2} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{1 - 3x}}{2} = \frac{7}{2}\end{array}\]
Bài 2 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng công thức \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\,\,\left[ {x \ne - 1} \right]\].
b] Sử dụng công thức \[\left[ {\sqrt u } \right]' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\].
Cách giải:
a] \[y' = 3{x^2} + 8x - 2\]
\[ \Rightarrow y'\left[ { - 4} \right] = 3.{\left[ { - 4} \right]^2} + 8.\left[ { - 4} \right] - 2\]\[ = 14\].
b]
\[\begin{array}{l}y' = \frac{{\left[ {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}} \right]'}}{{2\sqrt {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}} }}\\ = \frac{{20{{\cot }^3}{x^4}.\left[ {\cot {x^4}} \right]'}}{{2\sqrt {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}} }}\\ = \frac{{10{{\cot }^3}{x^4}\frac{{ - \left[ {{x^4}} \right]'}}{{{{\sin }^2}{x^4}}}}}{{2\sqrt {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}} }}\\ = \frac{{ - 20{x^3}{{\cot }^3}{x^4}}}{{{{\sin }^2}{x^4}\sqrt {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}} }}\end{array}\]
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
+] Sử dụng công thức \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\,\,\left[ {x \ne - 1} \right]\] tính \[y''\].
+] Bất phương trình \[y'' < 0\] vô nghiệm \[ \Leftrightarrow y'' \ge 0\] nghiệm đúng \[\forall x\].
Cách giải:
\[y = \frac{{m-1}}{{12}}{x^4}-\frac{{m + 1}}{3}{x^3}\]\[ + \frac{{{\rm{3[}}m - 2]}}{2}{x^2} + 7x + 2020\]
\[ \Rightarrow y' = \frac{{\left[ {m - 1} \right]{x^3}}}{3} - \left[ {m + 1} \right]{x^2}\]\[ + 3\left[ {m - 2} \right]x + 7\]
\[y'' = \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x\]\[ + 3\left[ {m - 2} \right]\]
Bất phương trình \[y'' < 0\] vô nghiệm
\[ \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x\] \[ + 3\left[ {m - 2} \right] < 0\] vô nghiệm
\[ \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x\]\[ + 3\left[ {m - 2} \right] \ge 0\] nghiệm đúng \[\forall x\].
TH1: \[m = 0\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ * \right] \Leftrightarrow - 2x - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \le - 3 \Rightarrow m = 0\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array}\]
TH2: \[m \ne 0\]
\[ \Rightarrow \left[ * \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left[ {m + 1} \right]^2} - 3\left[ {m - 1} \right]\left[ {m - 2} \right] \le 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3\left[ {{m^2} - 3m + 2} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2{m^2} + 11m - 5 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\end{array}\].
Vậy \[m \ge 5\].
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
a] \[\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \cap \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left[ P \right]\].
b] \[\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left[ P \right]\\d \subset \left[ Q \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\].
c] Chứng minh \[d\left[ {AB;\left[ {SCD} \right]} \right] = d\left[ {A;\left[ {SCD} \right]} \right]\].
Cách giải:
a] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\,\,\left[ {gt} \right]\\CD \bot SA\,\,\left[ {SA \bot \left[ {ABCD} \right]} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow CD \bot \left[ {SAD} \right]\] .
b] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left[ {gt} \right]\\BD \bot SA\,\,\left[ {SA \bot \left[ {ABCD} \right]} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right]\] .
Mà \[AC \subset \left[ {SAC} \right]\]\[ \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \bot \left[ {SBD} \right]\] .
c] Ta có \[AB//CD \Rightarrow AB//\left[ {SCD} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {AB;\left[ {SCD} \right]} \right] = d\left[ {A;\left[ {SCD} \right]} \right]\] .
Trong \[\left[ {SAD} \right]\] kẻ \[AH \bot SD\] ta có:
\[CD \bot \left[ {SAD} \right]\,\,\left[ {cmt} \right]\]\[ \Rightarrow CD \bot AH\] .
Lại có \[AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left[ {SCD} \right]\].
\[ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SCD} \right]} \right] = AH\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SAD\] ta có: \[AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}\]\[ = \frac{{a\sqrt 5 .a}}{{\sqrt {5{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{6}\] .
Vậy \[d\left[ {AB;\left[ {SCD} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt {30} }}{6}\].