Đề bài - đề số 9 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 9

• Đề bài
• LG trắc nghiệm
• LG bài 1
• LG bài 2
• LG bài 3
• LG bài 4

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm [2 điểm]

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:

Câu 1 :Điều kiện để biểu thức\[A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x - 1}}\] xác định là:

A.\[x > 0\]

B.\[x > 1\]

C.\[x > 0,x \ne 1\]

D.\[x \ge 0,x \ne 1\]

Câu 2 [TH]:Cho\[\sqrt {x - 1} = 2\], giá trị của \[x\] là:

A.\[ - 3\]B.3

C.\[ - 1\] D.5

Câu 3 :Cho biểu thức \[P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \] với \[a \ge 0\], kết quả thu gọn của \[P\] là:

A.\[\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\].B.\[\dfrac{a}{4}\].

C.\[\dfrac{a}{{16}}\].D.\[\dfrac{{\sqrt a }}{4}\].

Câu 4 :Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \[A\left[ {1;4} \right]\]là:

A.\[y = {x^2} + 3\]B.\[y = x - 3\]

C.\[y = 4x\].D.\[y = 4 - x\].

Câu 5 :Cho 2 đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:y = \left[ {{m^2} + 1} \right]x + 2\] và \[\left[ {{d_2}} \right]:y = 5x + m\]. Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:

A.\[m = \pm 2\] B.\[m = 2\]

C.\[m = - 2\]D.\[m \ne \pm 2\]

Câu 6 :Cho tam giácABCvuông tạiA. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:

A.\[\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\]

B.\[\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\]

C.\[\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\]

D.\[\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\]

Câu 7 :Cho hai điểm phân biệtA, B. Số đường thẳng đi qua hai điểmA, Blà:

A.0B.1

C.2D.Vô số

Phần II. Tự luận [8 điểm]

Câu 1: [2 điểm]

Cho hai biểu thức \[A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\] với\[x > 0,x \ne 25\].

a] Tính giá trị biểu thức \[A\] khi\[x = 81\].

b] Cho\[P = A.B\], chứng minh rằng \[P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\]

c] So sánh \[P\] và\[{P^2}\].

Câu 2: [2 điểm]

Cho hàm số \[y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\] [\[m\]là tham số]

a]Vẽ đồ thị hàm số trên khi\[m = - 1\].

b]Tìm \[m\]để hai đường thẳng \[\left[ d \right]y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]và \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 3: [3,5 điểm]

Cho đường tròn \[\left[ O \right]\] đường kínhABvà điểmCthuộc đường tròn \[\left[ O \right]\][CkhácAvàB] sao cho\[AC > BC\]. QuaOvẽ đường thẳng vuông góc với dây cungACtạiH. Tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn \[\left[ O \right]\] cắtOHtạiD. Đoạn thẳngDBcắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tạiE.

a] Chứng minh \[HA = HC,\angle DCO = {90^o}\]

b] Chứng minh rằng \[DH.DO = DE.DB\]

c] Trên tia đối của tiaEAlấy điểmFsao choElà trung điểm cạnhAF. TừFvẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳngADtạiK. Đoạn thẳngFKcắt đường thẳngBCtạiM. Chứng minh\[MK = MF\].

Câu 4: [0,5 điểm]

Cho các số dương \[x,y\] thoả mãn\[x + y \le \dfrac{4}{3}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\]

LG trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

Phần I:

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

Câu 1:Cho hai biểu thức \[A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\] với\[x > 0,x \ne 25\].

a]Tính giá trị biểu thức \[A\] khi \[x = 81\].

Với\[x = 81\] ta có\[A = \dfrac{{\sqrt {81} - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\].

Vậy với \[x = 81\] ta có\[A = \dfrac{4}{9}\].

b]Cho \[P = A.B\], chứng minh rằng \[P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\]

\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 5} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 3\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}}.\end{array}\]

Xét\[P = A.B = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}} \]\[\;= \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 2} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 5} \right]\left[ {\sqrt x - 5} \right]}} \]\[\;= \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\].

Vậy \[P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\].\[\]

c]So sánh \[P\] và \[{P^2}\].

Xét hiệu \[P - {P^2} = P\left[ {1 - P} \right]\].

Nhận thấy: \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\]. [1]

Xét \[1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}} = \dfrac{{\sqrt x + 5 - \left[ {\sqrt x + 2} \right]}}{{\sqrt x + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x + 5}}\].

Vì \[\sqrt x + 5 > 0\;\forall x > 0\]

\[\Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\]. [2]

Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow P\left[ {1 - P} \right] > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\].

Vậy \[P > {P^2}\] với mọi x thỏa mãnĐKXĐ.

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Câu 2:

Cho hàm số \[y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\] [\[m\]là tham số]

a]Vẽ đồ thị hàm số trên khi\[m = - 1\].

Với \[m = - 1\] ta có hàm số có dạng:\[y = x + 3\]

Chọn\[x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \]\[A\left[ {0;3} \right]\]thuộc đồ thị hàm số

Chọn\[y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \Rightarrow B\left[ { - 3;\;0} \right]\] thuộc đồ thị hàm số.

Từ đó ta có đồ thị hàm số:

b]Tìm \[m\]để hai đường thẳng \[\left[ d \right]y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]và \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Phương trình của trục tung có dạng \[x = 0\]. Thay \[x = 0\] vào hàm số \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] ta có \[y = 3\]

Suy ra \[A\left[ {0;3} \right]\] là giao điểm của\[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] và trục tung.

Vì hai đường thẳng \[\left[ d \right]:y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]và \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên điểm \[A\left[ {0;3} \right]\] thuộc đường thẳng \[\left[ d \right]:y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]

\[ \Rightarrow 3 = \left[ {m + 2} \right].0 + 2{m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\].

Với \[m = 1 \Rightarrow y = 3x + 3 \Rightarrow \]\[\left[ d \right]\] trùng với \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] [loại vì nếu hai đường thẳng trùng nhau thì không thể cắt nhau tại 1 điểm]

Với \[m = - 1 \Rightarrow y = x + 3\] [thỏa mãn]

Vậy\[m = - 1\] là giá trị cần tìm.

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Câu 3:

Cho đường tròn \[\left[ O \right]\] đường kínhABvà điểmCthuộc đường tròn \[\left[ O \right]\][CkhácAvàB] sao cho\[AC > BC\]. QuaOvẽ đường thẳng vuông góc với dây cungACtạiH. Tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn \[\left[ O \right]\] cắtOHtạiD. Đoạn thẳngDBcắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tạiE

a]Chứng minh \[HA = HC,\angle DCO = {90^o}\]

Xét tam giácAOCcó: \[AO = CO\][do cùng là bán kính], suy ra tam giácAOCcân tạiO

Mà cóOHlà đường cao ứng với đỉnhOnênOHđồng thời cũng là trung trực củaAC

Suy ra \[HA = HC\]. [đpcm]

Xét tam giácAOCcân tạiOcóOHlà đường cao, suy raOHđồng thời là đường phân giác

\[ \Rightarrow \angle AOH = \angle COH\].

Xét tam giácDOCvà tam giácDOAcó:

+] Chung cạnhOD

+] \[AO = CO\][do cùng là bán kính]

+] \[\angle AOH = \angle COH\]

\[ \Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}\][doADlà tiếp tuyến nên \[\angle DAO = {90^o}\]]\[\]\[\]

b]Chứng minh rằng \[DH.DO = DE.DB\]

Xét tam giác vuôngADOvuông tạiAcóAHlà đường cao

\[ \Rightarrow A{D^2} = DH.DO\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông] [1]

Xét tam giác vuôngDABvuông tạiAcóAElà đường cao [AEvuông góc vớiBDdo \[\angle AEB\]là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]

\[ \Rightarrow A{D^2} = DE.DB\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông] [2]

Từ [1] và [2] suy ra \[DH.DO = DE.DB\;\;\left[ { = A{D^2}} \right]\] [đpcm] \[\]\[\]

c] Trên tia đối của tiaEAlấy điểmFsao choElà trung điểm cạnhAF. TừFvẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳngADtạiK. Đoạn thẳngFKcắt đường thẳngBCtạiM. Chứng minh\[MK = MF\].

Kéo dàiBMcắtADtạiG,GFcắtABtạiL

Xét tam giácABGcó:

\[\begin{array}{l}DO//BG\;\left[ { \bot AC} \right]\\OA = OB\;\left[ { = R} \right]\end{array}\]

\[ \Rightarrow AD = DG\] [tính chất đường trung bình]

Xét tam giácGFAcó:

+]Dlà trung điểm củaAG[do\[AD = DG\]]

+]Elà trung điểm củaAF[giả thiết]

\[ \Rightarrow \]DEsong song vớiGF[tính chất đường trung bình]

Xét tam giácGALcó:

+]Dlà trung điểmAG[do \[AD = DG\]]

+]DBsong song vớiGL[doDEsong song vớiGF]

Suy raBlà trung điểm củaAL[tính chất đường trung bình], suy ra\[AB = \dfrac{1}{2}AL\]\[\]

Xét tam giácGKMcóKMsong song vớiAB[do cùng vuông góc vớiAG]

\[ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}\] [định lí Ta-lét] [3]

Xét tam giácGALcóKFsong song vớiAL[do cùng vuông góc vớiAG]

\[ \Rightarrow \dfrac{{KF}}{{AL}} = \dfrac{{GK}}{{AG}}\] [định lí Ta-lét] [4]

Từ [3] và [4] \[ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KF}}{{AL}}\]. Mà có \[AB = \dfrac{1}{2}AL\] [cmt]

\[ \Rightarrow KM = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF - KM = KF - \dfrac{1}{2}KF = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM\][đpcm].

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Cho các số dương \[x,y\] thoả mãn\[x + y \le \dfrac{4}{3}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\[S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\]

Ta có: \[S = \left[ {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right] + \left[ {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right] + \dfrac{{11}}{{36}}\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right]\].

Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

\[\begin{array}{l} + ]\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\\ + ]\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\end{array}\]

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

\[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left[ {x + y} \right]^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left[ {x - y} \right]^2} \ge 0\][luôn đúng]

Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \[\dfrac{{11}}{{36}}\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right] \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\]

Mà có \[x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right] \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\].

\[ \Rightarrow S = \left[ {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right] + \left[ {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right] + \dfrac{{11}}{{36}}\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right] \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\].

Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \[\dfrac{{43}}{{12}}\] khi\[x = y = \dfrac{2}{3}\].

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

Video liên quan