Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N, cắt đường thẳng AD tại S. Chứng minh:
a] Tứ giác ABCD nội tiếp.
b] Các đường thẳng AB, MN, CD đồng quy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tứ giác ABCD có hai đỉnh A; D cùng nhìn AD dưới góc 900\[ \Rightarrow A;D\] thuộc đường tròn đường kính BC.
b] Gọi E là giao điểm của AB và CD. Chứng minh ME và MN cùng vuông góc với BC suy ra E, M, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {BDC} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM].
\[ \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \] Tứ giác ABCD có hai đỉnh A; D cùng nhìn AD dưới góc 900\[ \Rightarrow A;D\] thuộc đường tròn đường kính BC.
\[ \Rightarrow \] Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b] Gọi E là giao điểm của AB và CD.
Xét \[\Delta EBC\] có \[BD \bot CE\,\,\left[ {cmt} \right];\,\,AC \bot BE\,\,\left[ {gt} \right];\]\[\,\,AC \cap BD = M \Rightarrow M\] là trực tâm của tam giác EBC \[ \Rightarrow EM \bot BC\] [1]
Ta có \[\widehat {MNC} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC] \[ \Rightarrow MN \bot BC\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \] Qua M kẻ được 2 đường thẳng MN và ME cùng vuông góc với BC \[ \Rightarrow E;M;N\] thẳng hàng [tiên đề Ơ-clit].
Vậy AB, CD, MN đồng quy tại E.