Bài 1 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\[{x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\]
Gợi ý làm bài
\[{x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^3}[x - y] + {y^3}[y - x] \ge 0 \Leftrightarrow [x - y][{x^3} - {y^3}] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {[x - y]^2}[{x^2} + {y^2} + xy] \ge 0 \Leftrightarrow {[x - y]^2}[{[x + {y \over 2}]^2} + {{3{y^2}} \over 4}] \ge 0\] [đúng]
Bài 2 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\[{x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\]
Gợi ý làm bài
\[{x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4{y^2} - 12y + 3[{z^2} - 2z] + 14 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {[x - 1]^2}{[2y - 3]^2} + 3{[z - 1]^2} + 1 > 0\] [đúng]
Bài 3 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\[{a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \]
Gợi ý làm bài
\[\eqalign{
& {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr
& \Leftrightarrow {{{{[\sqrt a ]}^3} + {{[\sqrt b ]}^3}} \over {\sqrt a \sqrt b }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr} \]
\[ \Leftrightarrow [\sqrt a + \sqrt b ][a + b - \sqrt {ab} ] \ge [\sqrt a + \sqrt b ]\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow [\sqrt a + \sqrt b ][a + b - 2\sqrt {ab} ] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow [\sqrt a + \sqrt b ]{[\sqrt a - \sqrt b ]^2} \ge 0\] [đúng]
Bài 4 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\[{1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\]
Gợi ý làm bài
Từ\[{1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \] và\[a + b \ge 2\sqrt {ab} \] suy ra
\[[a + b][{1 \over a} + {1 \over b}] \ge 4\] hay\[{1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\]