Bài 1 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho bốn điểm \[A\left[ {1;6;2} \right],\,B\left[ {4;0;6} \right]\,,\,C\left[ {5;0;4} \right]\,,\,D\left[ {5;1;3} \right]\].
a] Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
b] Tính thể tích tứ diện ABCD.
c] Viết phương trình mp[BCD].
d] Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp[BCD]. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải
a] Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 6;4} \right];\overrightarrow {AC} = \left[ {4; - 6;2} \right];\]
\[\,\overrightarrow {AD} = \left[ {4; - 5;1} \right]\].
\[\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
- 6\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
- 6\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\, - 6 \hfill \cr
4\,\,\,\, - 6 \hfill \cr} \right|} \right]\cr& = \left[ {12;10;6} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 12.4 - 5.10 + 6.1 = 4 \ne 0. \cr} \]
Vậy A, B, C, D không đồng phẳng nên ABCD là hình tứ diện.
b] Thể tích hình tứ diện ABCD là \[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {4 \over 6} = {2 \over 3}\].
c] Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left[ {1;0; - 2} \right];\overrightarrow {BD} = \left[ {1;1; - 3} \right]\]
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 2 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right] \]
\[= \left[ {2;1;1} \right].\]
Mp[BCD] qua B[4; 0; 6] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \]nên có phương trình:
\[2\left[ {x - 4} \right] + 1\left[ {y - 0} \right] + 1\left[ {z - 6} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 2x + y + z - 14 = 0\].
d] Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp[BCD] có bán kính
\[R = d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right] = {{\left| {2.1 + 1.6 + 1.2 - 14} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}\].
Phương trình mặt cầu là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 6} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = {8 \over 3}\].
Gọi H là tiếp điểm thì AH là đường thẳng đi qua A vuông góc với mp[BCD] nên có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow n = \left[ {2;1;1} \right]\]. Vậy AH có phương trình tham số:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 6 + t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\].
Thay x, y, z vào phương trình mp[BCD] ta được:
\[2\left[ {1 + 2t} \right] + 6 + t + 2 + t - 14 = 0 \Rightarrow t = {2 \over 3}\].
Vậy \[H\left[ {{7 \over 3};{{20} \over 3};{8 \over 3}} \right]\]
Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai điểm \[A\left[ {1; - 1; - 2} \right]\,\,;\,\,B\left[ {3;1;1} \right]\]và mặt phẳng [P]: \[x - 2y + 3z - 5 = 0\].
a] Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua mp[P].
b] Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp[P].
c] Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua A, B và vuông góc với mp[P].
d] Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp[P]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] nằm trong [P], đi qua I và vuông góc với AB.
Giải
a] Điểm \[A'\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\]đối xứng với A qua mp[P] khi và chỉ khi \[\overrightarrow {AA'} = \left[ {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right]\] là vectơ pháp tuyến của [P] và trung điểm \[I\left[ {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right]\] của AA nằm trên [P]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{{{x_0} - 1} \over 1} = {{{y_0} + 1} \over { - 2}} = {{{z_0} + 2} \over 3} \hfill \cr
{{{x_0} + 1} \over 2} - 2{{{y_0} - 1} \over 2} + 3{{{z_0} - 2} \over 2} - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = {{15} \over 7} \hfill \cr
{y_0} = - {{23} \over 7} \hfill \cr
{z_0} = {{10} \over 7} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A'\left[ {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right]\]
b] Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;2;3} \right]\]; mp[P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[P]}}} = \left[ {1; - 2;3} \right]\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng AB và mp[P] ta có \[0 \le \varphi \le {90^0}\] và \[\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\].
c] Gọi \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \] là vectơ pháp tuyến của mp[Q] thì \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \] \[\bot \] \[\overrightarrow {AB} \]; \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \]\[\bot \]\[\overrightarrow {{n_{[P]}}} \]nên chọn
\[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right] = \left[ {12; - 3; - 6} \right]\]
Phương trình mặt phẳng [Q] là:
\[12\left[ {x - 1} \right] - 3\left[ {y + 1} \right] - 6\left[ {z + 2} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\].
d] Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + 2t \hfill \cr
z = - 2 + 3t \hfill \cr
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left[ { - 1 + 2t} \right] + 3\left[ { - 2 + 3t} \right] - 5 = 0\cr& \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \]
Vậy \[I\left[ {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right].\]
Gọi \[\overrightarrow u \] và vectơ chỉ phương của \[\Delta \]thì \[\overrightarrow u \] \[\bot \] \[\overrightarrow {{n_{[P]}}} \,\]; \[\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} \]nên chọn
\[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{[P]}}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left[ { - 12;3;6} \right] = - 3\left[ {4; - 1; - 2} \right]\].
Vậy \[\Delta \] có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\]
Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng d và mp[P] có phương trình:
\[d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ P \right]:x - 3y + z - 1 = 0\].
a] Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mp[P]
b] Viết phương trình đường thẳng \[{d_1}\] là hình chiếu song song của d trên mp[P] theo phương Oz.
c] Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp[P].
Giải
a] Đường thẳng d đi qua \[{M_0}\left[ {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right]\]. Mp[P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[P]}}} = \left[ {1; - 3;1} \right]\]. Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P] thì \[d' = \left[ P \right] \cap \left[ Q \right]\] là hình chiếu của d trên [P]. Mp[Q] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \bot \overrightarrow u \]và \[\overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \]. Vì \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right] = \left[ {4;0; - 4} \right]\] nên chọn \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} = \left[ {1;0; - 1} \right]\]. [Q] chứa d nên [Q] qua \[{M_0}\left[ {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right]\] do đó [Q] có phương trình \[x - {2 \over 3} - z = 0 \Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\]
Ta có
\[d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Cho z = 0, ta có \[x = {2 \over 3},y = - {1 \over 9} \Rightarrow A\left[ {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right] \in d'\]và d có vectơ chỉ phương là
\[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr
3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right]\]
\[= \left[ {9;6;9} \right] = 3\left[ {3;2;3} \right].\]
Phương trình tham số của d là
\[\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\].
b] Gọi [R] là mặt phẳng chứa d và song song với Oz [hoặc chứa Oz] thì \[{d_1} = \left[ P \right] \cap \left[ R \right]\].
Mp[R] đi qua \[{M_0}\left[ {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right]\] và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right]\] và \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\] [vectơ chỉ phương Oz] nên \[\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left[ {1; - 1;0} \right]\].
Mp[R] có phương trình là \[1\left[ {x - {2 \over 3}} \right] - 1\left[ {y + {{11} \over 3}} \right] = 0 \Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\]
Ta có
\[{d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\].
Cho y = 0, ta có \[x = {{13} \over 3},z = - {{10} \over 3}\] suy ra \[B\left[ {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right] \in {d_1}\].
\[{d_1}\] có vectơ chỉ phương
\[\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr
3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right] \]
\[= \left[ {3;3;6} \right] = 3\left[ {1;1;2} \right].\]
Vậy\[{d_1}\] có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\]
c] Gọi [P] là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp[P] thì [P] có phương trình: x 3y + z = 0. Giao điểm I của đường thẳng d và mp[P] có tọa độ thỏa mãn hệ:
\[\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr
z = t \hfill \cr
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow I\left[ {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right]\]
Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:
\[{x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}} \Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\]
Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm A[2; 3; 1] và hai đường thẳng:
\[{d_1}:\left\{ \matrix{
x = - 2 - t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 2t \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,{d_2}:{{x + 5} \over 3} = {{y - 2} \over { - 1}} = {z \over 1}\]
a] Viết phương trình mp[P] đi qua A và \[{d_1}\].
b] Viết phương trình mp[Q] đi qua A và \[{d_2}\].
c] Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả\[{d_1}\] và \[{d_2}\].
d] Tính khoảng cách từ A đến \[{d_2}\].
Giải
a] Đường thẳng \[{d_1}\] qua \[{M_1}\left[ { - 2;2;0} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u { _1} = \left[ { - 1;1;2} \right]\]. Mp[P] qua A và\[{d_1}\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left[ { - 1;9; - 5} \right]\].
Vậy mp[P] có phương trình: \[- \left[ {x + 2} \right] + 9\left[ {y - 2} \right] - 5z = 0\]
\[\Leftrightarrow x - 9y + 5z + 20 = 0\].
b] Đường thẳng\[{d_2}\] qua \[{M_2}\left[ { - 5;2;0} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {3; - 1;1} \right]\]. Mp[Q] qua A và\[{d_2}\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ { - 2;4;10} \right]\].
Vậy mp[Q] có phương trình: \[- 2\left[ {x -2} \right] + 4\left[ {y - 3} \right] + 10[z-1] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - 2y - 5z + 9 = 0\]
c] Đường thẳng d đi qua A, cắt cả\[{d_1}\] và\[{d_2}\] nên d nằm trên cả hai mặt phẳng [P] và [Q], tức là d gồm những điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x - 9y + 5z + 20 = 0 \hfill \cr
x - 2y - 5z + 9 = 0 \hfill \cr} \right.\].
Đặt x = t ta được hệ
\[\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = {{29} \over {11}} + {2 \over {11}}t \hfill \cr
z = {{41} \over {55}} + {7 \over {55}}t \hfill \cr} \right.\].
Đây là phương trình tham số của đường thẳng d, d và \[{d_1}\] cùng thuộc mp[P] và có vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau. d và\[{d_2}\] cùng thuộc mp[Q] và có các vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau.
d] Khoảng cách từ điểm A đến \[{d_2}\] là: \[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {4 + 16 + 100} } \over {\sqrt {9 + 1 + 1} }} = {{2\sqrt {30} } \over {\sqrt {11} }}\]