Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho đoạn thẳng \[AB\] và điểm \[M\] nằm giữa \[A\] và \[B\] sao cho \[AM > MB\]. Vẽ các vectơ\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MB}\]và\[\overrightarrow{MA}\]-\[\overrightarrow{MB}\]
Giải
Trên đoạn thẳng \[AB\] ta lấy điểm \[M'\] để có\[\overrightarrow{AM'}\]=\[\overrightarrow{MB}\]
Như vậy \[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MB}\]=\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{AM'}\]=\[\overrightarrow{MM'}\][ quy tắc 3 điểm]
Vậy vec tơ\[\overrightarrow{MM'}\]chính là vec tơ tổng của \[\overrightarrow{MA}\]và\[\overrightarrow{MB}\]
\[\overrightarrow{MM'}\]=\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MB}\].
Ta lại có\[\overrightarrow{MA}\]-\[\overrightarrow{MB}\]=\[\overrightarrow{MA}\]+ [-\[\overrightarrow{MB}\]]
\[\Rightarrow\]\[\overrightarrow{MA}\]-\[\overrightarrow{MB}\]=\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{BM}\][vectơ đối]
Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có
\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{BM}\]=\[\overrightarrow{BM}\]+\[\overrightarrow{MA}\]=\[\overrightarrow{BA}\][quy tắc 3 điểm]
Vậy\[\overrightarrow{MA}\]-\[\overrightarrow{MB}\]=\[\overrightarrow{BA}\]
Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\] và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MC}\]= \[\overrightarrow{MB}\]+\[\overrightarrow{MD}\].
Giải
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:
\[\overrightarrow{MA}\]=\[\overrightarrow{MB}\]+\[\overrightarrow{BA}\]
\[\overrightarrow{MC}\]=\[\overrightarrow{MD}\]+\[\overrightarrow{DC}\]
\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MC}\]=\[\overrightarrow{MB}\]+\[\overrightarrow{MD}\]+ [\[\overrightarrow{BA}\]+\[\overrightarrow{DC}\]]
\[ABCD\] là hình bình hành nên hai vec tơ\[\overrightarrow{BA}\]và\[\overrightarrow{DC}\]là hai vec tơ đối nhau nên:
\[\overrightarrow{BA}\]+\[\overrightarrow{DC}\]=\[\overrightarrow{0}\]
Suy ra\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MC}\]=\[\overrightarrow{MB}\]+\[\overrightarrow{MD}\].
Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ
\[\overrightarrow{AB}\]=\[\overrightarrow{MB}\]-\[\overrightarrow{MA}\]
\[\overrightarrow{CD}\]=\[\overrightarrow{MD}\]-\[\overrightarrow{MC}\]
\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{AB}\]+ \[\overrightarrow{CD}\]=[\[\overrightarrow{MB}\]+\[\overrightarrow{MD}\]] - [\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MC}\]].
\[ABCD\] là hình bình hành nên\[\overrightarrow{AB}\]và\[\overrightarrow{CD}\]là hai vec tơ đối nhau, cho ta:
\[\overrightarrow{AB}\]+\[\overrightarrow{CD}\]=\[\overrightarrow{0}\]
Suy ra:\[\overrightarrow{MA}\]+\[\overrightarrow{MC}\]=\[\overrightarrow{MB}\]+\[\overrightarrow{MD}\].
Bài 3 trang 12 sgk hình học lớp 10
Chứng minh rằng đối với tứ giác \[ABCD\] bất kì ta luôn có
a]\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\];
b]\[\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\].
Giải
a] Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có
\[\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\]; \[\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{CA}\]
Như vậy
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= [ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}] + [\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}] = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\]
mà\[\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\].
Vậy\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\]
b] Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có
\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}\][1]
\[\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}\][2]
Từ [1] và [2] suy ra\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CD}\].
Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho tam giác \[ABC\]. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \[ABIJ, BCPQ, CARS\]. Chứng minh rằng\[\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}\]
Giải
Ta xét tổng:
\[\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{JI} +\overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{SR} = \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\][1]
Mặt khác, ta có \[ABIJ, BCPQ\] và \[CARS\] là các hình bình hành nên:
\[\overrightarrow{JI}\] =\[\overrightarrow{AB}\]
\[\overrightarrow{QP}\]=\[\overrightarrow{BC}\]
\[\overrightarrow{SR}\]=\[\overrightarrow{CA}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\][2]
Từ [1] và [2] suy ra :\[\overrightarrow{RJ}\]+\[\overrightarrow{IQ}\]+\[\overrightarrow{PS}\]= \[\overrightarrow{0}\] [đpcm]