Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11
Giải phương trình
\[{\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0\].
Đáp án :
\[{\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0 \Leftrightarrow sinx[sinx - 1] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = 0}} \hfill \cr
{\rm{sin x = 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\]
Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a]\[2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
b] \[2sin2x{\rm{ }} + \sqrt 2 sin4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
Giải
a] Đặt \[ t = cosx, t \in [-1 ; 1]\] ta được phương trình:
\[2{t^2} - {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t \in \left\{ {1;{1 \over 2}} \right\}\]
Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:
\[cosx = 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}k2\pi \] và \[cosx = {1 \over 2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \].
Vậy \[x = {\rm{ }}k2\pi \] và \[x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \] \[[k\in\mathbb{Z}]\].
b] Ta có \[sin4x = 2sin2xcos2x\] [công thức nhân đôi], do đó phương trình đã cho tương đương với
\[\left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = - {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi \hfill \cr
2x = \pm {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{k\pi } \over 2} \hfill \cr
x = \pm {{3\pi } \over 8} + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}]\]
Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a] \[si{n^2}{x \over 2} - {\rm{ }}2cos{x \over 2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
b] \[8co{s^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinx{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
c] \[2ta{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3tanx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
d] \[tanx{\rm{ }} - {\rm{ }}2cotx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
Giải
a] Đặt \[t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\]thì phương trình trở thành
\[[1{\rm{ }} - {\rm{ }}{t^2}]{\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 3 \hfill \text{[loại]}\cr} \right.\]
Phương trình đã cho tương đương với
\[cos{x \over 2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {x \over 2} = {\rm{ }}k2\pi \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}4k\pi ,{\rm{ }}k \in\mathbb{Z} \].
b] Đặt \[t = sinx, t [-1 ; 1]\] thì phương trình trở thành
\[8[1{\rm{ }} - {t^2}]{\rm{ }} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}8{t^{2}} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {1 \over 2} \hfill \cr
t = - {1 \over 4} \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đã cho tương đương :
\[sinx = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin x = {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}]\]
và
\[sinx = - {1 \over 4} \Leftrightarrow \sin x = arc\sin \left[ { - {1 \over 4}} \right]\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = arc\sin \left[ { - {1 \over 4}} \right] + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - arc\sin \left[ { - {1 \over 4}} \right] + k2\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}]\]
c] Đặt \[t = tanx\] thì phương trình trở thành
\[2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr
t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đã cho tương đương:
\[\left[ \matrix{
\tan x = - 1 \hfill \cr
\tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left[ { - {1 \over 2}} \right] + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}]\]
d]Đặt \[t = tanx\] thì phương trình trở thành
\[t - {2 \over t} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}t{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2 \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đã cho tương đương:
\[\left[ \matrix{
{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
tanx = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan [ - 2] + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in\mathbb{Z} ]\]
Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a] \[2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
b] \[3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\];
c] \[si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\];
d] \[2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\].
Giải
a] Dễ thấy \[cosx = 0\] không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \[cos^2x\] ta được phương trình tương đương \[2tan^2x + tanx - 3 = 0\].
Đặt \[t = tanx\] thì phương trình này trở thành
\[2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đã cho tương đương:
\[\left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left[ { - {3 \over 2}} \right] + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in\mathbb{Z} ]\]
b]\[3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\]
\[\Leftrightarrow 3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2si{n^2}x{\rm{ }}\]
\[+ {\rm{ }}2co{s^2}x\]
\[\Leftrightarrow sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0\]
Dễ thấy \[cosx = 0\] không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \[cos^2x\] ta được phương trình tương đương
\[\Leftrightarrow tan^2x - 4tanx + 3 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = 3 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}]\]
c]\[si{n^2}x{\rm{ }}+{\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\]
\[\Leftrightarrow si{n^2}x{\rm{ }} + 2sinxcosx- {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} =\]
\[{1 \over 2}[sin^2x+cos^2x]\]
\[{1 \over 2}si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinxcosx{\rm{ }} -{5\over 2}co{s^2}x = 0\]
\[ \Leftrightarrow si{n^2}x +4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0\]
Dễ thấy \[cosx = 0\] không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \[cos^2x\] ta được phương trình tương đương
\[\tan x + 4\tan x - 5= 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = -5 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan [-5]+ k\pi \hfill \cr} \right.[k \in\mathbb{Z} ]\]
d]\[2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\]
\[\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4{\sin ^2}x = 0\]
\[\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4[1 - {\cos ^2}x] = 0\]
\[\Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\]
\[\Leftrightarrow 6\cos x[\cos x - \sqrt 3 \sin x] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0[1] \hfill \cr
\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0[2] \hfill \cr} \right.\]
Giải [1] ta được \[x={\pi\over 2}+k\pi\] [\[k\in\mathbb{Z}\]]
Giải [2]:Dễ thấy \[cosx = 0\] không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho \[cosx\] ta được phương trình tương đương:
\[tanx={1\over\sqrt3}\Leftrightarrow x={\pi\over6}+k\pi[k\in\mathbb{Z}]\]