Câu 22 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có AB// CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DH = CK.
Giải:
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:
\[\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = {90^0}\]
AD=BC [tính chất hình thang cân]
\[\widehat C = \widehat D\][gt]
Do đó: AHD = BKC [cạnh huyền, góc nhọn]
Câu 23 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA=OB, OC=OD.
Giải:
Xét ADC và BCD, ta có:
AD = BC [tính chất hình thang cân]
\[\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\] [gt]
DC cạnh chung
Do đó: ADC = BCD [c.g.c]
\[ \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}\]
Trong OCD ta có: \[{\widehat C_1} = {\widehat D_1}\]
OCD cân tại O
OC = OD [1]
AC = BD [ tính chất hình thang cân]
AO + OC = BO + OD [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AO = BO
Câu 24 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.
a. Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng\[\widehat A = {40^0}\]
Giải:
a. ABC cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\][tính chất tam giác cân] [1]
AB = AC [gt]
AM + BM= AN+ CN
mà BM = CN [gt]
suy ra: AM = AN
AMN cân tại A
\[ \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\][ tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{\widehat M_1} = \widehat B\]
MN // BC [ vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau]
Tứ giác BCMN là hình thang có \[\widehat B = \widehat C\]. Vậy BCMN là hình thang cân.
b. \[\widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2} = {{{{180}^0} - {{40}^0}} \over 2} = {70^0}\]
Mà \[{\widehat M_2} + \widehat B = {180^0}\][hai góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {70^0} = {110^0}\]
\[{\widehat N_2} = {\widehat M_2} = {110^0}\] [tính chất hình thang cân]
Câu 25 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Giải:
Xét hai tam giác AEB và AFC
Có AB = AC [ ABC cân tại A]
\[\widehat {ABE} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\]và \[\widehat A\]là góc chung
\[ \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEC\left[ {g.c.g} \right] \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\]cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {AFE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]và trong tam giác \[\Delta ABC:\,\,\widehat B = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B \Rightarrow FE//BC\]⟹ tứ giác BFEC là hình thang.