Bài 1 trang 23 sgk giải tích 12
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\]trên các đoạn \[[-4; 4]\] và \[[0;5]\] ;
b] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\] trên các đoạn \[[0;3]\] và \[[2;5]\];
c] \[y = {{2 - x} \over {1 - x}}\]trên các đoạn \[[2;4]\] và \[[-3;-2]\];
d] \[y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\]trên đoạn \[[-1;1]\].
Giải
a] Xét \[D = [-4; 4]\]
\[y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} - 9;y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = - 1 \in D \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[y[-4] = -41; y[4] = 15; y[-1] = 40; y[3] = 8\]
Vậy \[\eqalign{
& \mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = 40 \cr
& \mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = - 41 \cr}\]
Xét \[D = [0; 5]\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = - 1 \notin D \hfill \cr} \right.\]
Ta có \[y[0] = 35; y[5] = 40; y[3] = 8\]
Vậy \[\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;5} \right]} = 40;\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;5} \right]} = 8\]
b] \[y' = 4{x^3} - 6x = 2x\left[ {2{x^2} - 3} \right];y' = 0\left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr x = - \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\]
- Với \[D = [0; 3]\] thì \[x = - \sqrt {{3 \over 2}} \notin D\]
Ta có \[y\left[ 0 \right] = 2;y\left[ 3 \right] = 56;y\left[ {\sqrt {{3 \over 2}} } \right] = - {1 \over 4}\]
Vậy \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = - {1 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = 56\]
Với \[D = [2; 5]\] thì \[x = 0;x = \pm \sqrt {{3 \over 2}}\] đều không thuộc \[D\] nên \[y[2] = 6; y[5] = 552\].
Vậy \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;5} \right]} = 6;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;5} \right]} = 552\]
c] \[y = {{x - 2} \over {x - 1}};y' = {1 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} > 0;\forall x \ne 1\]
Với \[D = [2; 4]: y[2] = 0\]; \[y\left[ 4 \right] = {2 \over 3}\]. Vậy \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = 0;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = {2 \over 3}\]
Với \[D = [-3; -2]\]: \[y\left[ { - 3} \right] = {5 \over 4};y\left[ { - 2} \right] = {4 \over 3}\]. Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = {5 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} = {4 \over 3}\]
d]
\[\eqalign{
& D = \left[ { - 1;1} \right]:y' = {{ - 2} \over {\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \cr
& y\left[ { - 1} \right] = 3;y\left[ 1 \right] = 1 \cr} \]
Vậy \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 1;\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 3\]
Bài 2 trang 24 sách sgk giải tích 12
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi \[16 cm\], hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải:
Kí hiệu \[x, y\] thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \[[0 < x, y < 16]\]. Khi đó \[x + y = 8\]. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : \[8 = x + y2\sqrt{xy} xy 16\]
\[\Rightarrow xy =16 x = y = 4\]. Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng \[16 cm^2\]khi \[x = y = 4[cm]\], tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.
Bài 3 trang 24 sách sgk giải tích 12
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \[48 m^2\], hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Kí hiệu \[x, y\] thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \[[x, y > 0]\]. Khi đó \[xy = 48\]. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có :\[x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\sqrt{48}=8\sqrt{3}.\]
\[x+y=8\sqrt{3}.\Leftrightarrow x=y=4\sqrt{3}\].Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng \[2[x+y]=16\sqrt{3}[m]\]khi \[x=y=4\sqrt{3} [m]\], tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.