Bài 1 trang 30 sách sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a]\[y=\frac{x}{2-x}\].
b]\[y=\frac{-x+7}{x+1}\].
c]\[y=\frac{2x-5}{5x-2}\].
d]\[y=\frac{7}{x}-1\].
Giải
a] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x \over {2 - x}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {x \over {2 - x}} = - \infty \] nên đường thẳng \[x = 2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {2 - x}} = - 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x \over {2 - x}} = - 1\] nên đường thẳng \[y = -1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b] Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty\]nên \[x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1\]nên đường thẳng \[y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c] Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{2}{5}} \right]}^ + }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{2}{5}} \right]}^ - }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = + \infty\]nên đường thẳng\[x=\frac{2}{5}\]là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5};\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5}\]nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng\[y=\frac{2}{5}\]làm tiệm cận ngang.
d] Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = - 1\]nên đường thẳng \[y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {\frac{7}{x} - 1} \right] = - \infty\]nên đường thẳng \[x=0\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài 2 trang 30 sách sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a] \[y=\frac{2-x}{9-x^2}\]
b]\[y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\]
c]\[y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\]
d]\[y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\]
Giải:
a]
\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow [-3]^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\];\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow [-3]^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\]nên đường thẳng \[x=-3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\];\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\]nên đường thẳng \[x=3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\];\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\] nên đường thẳng: \[y = 0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b]
\[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{3}{5}} \right]}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{3}{5}} \right]}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}\]
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng:\[x=-1;x=\frac{3}{5}\].
Vì:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\]
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng\[y=-\frac{1}{5}\].
c]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[ - 1]}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[ - 1]}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\]nên đường thẳng \[x=-1\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2[1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}]}{x[1+\frac{1}{x}]}=-\infty\]và\[\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\]nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d]
Hàm số xác định khi:\[\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\]
Vì\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\][ hoặc\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\]] nên đường thẳng \[x = 1\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì\[\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}[1+\frac{1}{\sqrt{x}}]}{\sqrt{x}[1-\frac{1}{\sqrt{x}}]}=1\]nên đường thẳng \[y = 1\] là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.