Bài 12 trang 15 sgk Toán 9 tập 2
12.Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a] \[\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\];
b] \[\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\];
c] \[\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\]
Bài giải:
a] Từ phương trình \[x - y = 3 \Rightarrow x = 3 + y\].
Thay \[x = 3 + y\] vào phương trình \[3x - 4y = 2\] ta được:
\[3[3 + y] - 4y = 2 9 + 3y - 4y = 2\]
\[ -y = -7 y = 7\]
Thay \[y = 7\] vào \[x = 3 + y\] ta được \[x = 3 + 7 = 10\].
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[[10; 7]\].
b] Từ phương trình \[4x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 4x\].
Thay \[y = 2 - 4x\] vào phương trình \[ 7x - 3y = 5\] ta được:
\[7x - 3[2 - 4x] = 5 7x - 6 + 12x = 5\]
\[ 19x = 11 x = \frac{11}{19}\]
Thay \[x = \frac{11}{19}\] vào \[y = 2 - 4x\] ta được \[y = 2 - 4 . \frac{11}{19} = 2 - \frac{44}{19}= -\frac{6}{19}\]
Hệ phương trình có nghiệm [\[\frac{11}{19}\]; -\[\frac{6}{19}\]]
c] Từ phương trình \[x + 3y = -2 \Rightarrow x = -2 - 3y\].
Thay \[x=-2-3y\] vào phương trình \[5x - 4y = 11\] ta được:
\[5[-2 - 3y] - 4y = 11 -10 - 15y - 4y = 11\]
\[ -19y = 21 y = -\frac{21}{19}\]
Thay \[y=-\frac{21}{19}\] vào \[x=-2-3y\] ta được \[x = -2 -3[-\frac{21}{19}] = -2 + \frac{63}{19} = \frac{25}{19}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm [\[\frac{25}{19}\]; -\[\frac{21}{19}\]].
Bài 13 trang 15 sgk Toán 9 tập 2
13. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a] \[\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\]; b] \[\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\]
Bài giải:
a] Từ phương trình thứ nhất ta có \[ y = \frac{3x - 11}{2}\]. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
\[4x - 5.\frac{3x - 11}{2} = 3 4x-\frac{15}{2}+\frac{55}{2}=3\]
\[\Leftrightarrow -\frac{7x}{2}=-\frac{49}{2} x = 7\].
Thay \[x=7\] vào \[y = \frac{3x - 11}{2}\] ta được\[y = 5\].
Nghiệm của hệ phương trình đã cho là \[[7; 5]\]
b] Từ phương trình thứ nhất ta có: \[x = \frac{2y +6}{3}\]. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
\[5 . \frac{2y +6}{3} - 8y = 3 -14y = -21 y = \frac{3}{2}\]
Thay \[y = \frac{3}{2}\] vào \[x = \frac{2y +6}{3}\] ta được: \[x = \frac{2 . \frac{3}{2}+ 6}{3}\] = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[[3; \frac{3}{2}]\].
Bài 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2
14. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a] \[\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\];
b] \[\left\{\begin{matrix} [2 - \sqrt{3}]x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\]
Bài giải:
a] Từ phương trình thứ nhất ta có \[x = -y\sqrt{5}\].
Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:
\[-y\sqrt{5} . \sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}\] \[-2y = 1 - \sqrt{5}\]
\[y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\]
Thay\[y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\] vào\[x = -y\sqrt{5}\] ta được
\[x =-\frac{\sqrt{5}- 1}{2} .\sqrt{5} = \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm: \[[x, y]\] = \[[\frac{-5+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+ \sqrt{5}}{2}]\]
b] Từ phương trình thứ hai ta có \[y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\].
Thế vào y trong phương trình thứ nhất ta được:
\[[2 - \sqrt{3}]x - 3.[4 - 2\sqrt{3} - 4x] = 2 + 5\sqrt{3}\]
\[[14 - \sqrt{3}]x = 14 - \sqrt{3}\] \[x = 1\]
Thay \[x=1\] vào \[y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\] ta được
\[y = 4 - 2\sqrt{3} - 4 . 1 = -2\sqrt{3}\].
Vậy hệ phương trình có nghiệm: \[[x; y] = [1; -2\sqrt{3}]\]
Bài 15 trang 15 sgk Toán 9 tập 2
15. Giải hệ phương trình \[\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ [a^{2} + 1]x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\] trong mỗi trường hợp sau:
a] \[a = -1\]; b] \[a = 0\]; c] \[a = 1\].
Bài giải:
a] Khi \[a = -1\], ta có hệ phương trình \[\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\]
Hệ phương trình vô nghiệm [Do hai đường thẳng song song với nhau].
b] Khi \[a = 0\], ta có hệ \[\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 6y = 0 & & \end{matrix}\right.\]
Từ phương trình thứ nhất ta có \[x = 1 - 3y\].
Thế vào \[x\] trong phương trình thứ hai, ta được:
\[1 - 3y + 6y = 0 3y = -1 y = -\frac{1}{3}\]
Thay \[y = -\frac{1}{3}\] vào\[x = 1 - 3y\] ta được
\[x = 1 - 3[-\frac{1}{3}] = 2\]
Hệ phương trình có nghiệm \[[x; y] = [2; -\frac{1}{3}]\].
c] Khi \[a = 1\], ta có hệ \[\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = 1& & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} x = 1 -3y& & \\ y \in R& & \end{matrix}\right.\]
Hệ phương trình có vô số nghiệm.