Bài 1.20 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Tìm giá trị của m sao cho\[\overrightarrow a = m\overrightarrow b \] trong các trường hợp sau:
a]\[\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \]
b]\[\overrightarrow a = \overrightarrow { - b} \] và\[\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \]
c]\[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cùng hướng và\[\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\]
d]\[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] ngược hướng và \[\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\]
e]\[\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \]
g]\[\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \]
h] \[\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \]
Gợi ý làm bài
a] \[\vec a = \vec b \Rightarrow m = 1\]
b] \[\vec a = - \vec b \Rightarrow m = - 1\]
c]\[\vec a,\vec b\] cùng hướng \[ \Rightarrow m > 0\] và \[\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{20} \over 5} = 4\]
Vậy m = 4.
d] \[\vec a,\vec b\] ngược hướng \[ \Rightarrow m < 0\] và \[\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\]
Vậy \[m = - {1 \over 3}\]
e] \[\eqalign{
& \vec a = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 0 \cr
& \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {0 \over {\left| {\vec b} \right|}} = 0 \Rightarrow m = 0 \cr} \]
g] \[\vec b = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 0 \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{\left| {\vec a} \right|} \over 0}\]
=>không tồn tại m.
h] \[\vec a = \vec b = \vec 0 \Rightarrow \] mọi giá trị của m đều thỏa mãn.
Bài 1.21 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Chứng minh rằng:
a] Nếu\[\overrightarrow a = \overrightarrow b \] thì\[m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \]
b]\[m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \] và\[m \ne 0\] thì\[\overrightarrow a = \overrightarrow b \]
c] Nếu\[m\overrightarrow a = n\overrightarrow a \] và\[\overrightarrow a \ne 0\] thìm = n
Gợi ý làm bài
a]\[\overrightarrow a = \overrightarrow b = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\] và\[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cùng hướng. Ta có\[\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {m\overrightarrow b } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\] do đó\[\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right|\]
\[m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \] cùng hướng . Vậy\[m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \]
b]\[m\overrightarrow a = m\overrightarrow b = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right| = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\] vì\[m \ne 0\]
\[m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \] cùng hướng =>\[\overrightarrow a \] và\[\overrightarrow b \] cùng hướng.
Vậy\[\overrightarrow a = \overrightarrow b \]
c] \[m\overrightarrow a = n\overrightarrow a = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {n\overrightarrow a } \right| = > \left| m \right| = \left| n \right|\] vì\[\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \]
\[m\overrightarrow a ,n\overrightarrow a \] cùng hướng => m và n cùng dấu.
Vậy m = n.
Bài 1.22 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Chứng minh rằng tổng của n véc tơ\[\overrightarrow a \] bằng\[n\overrightarrow a \] [n là số nguyên dương].
Gợi ý làm bài
\[\overrightarrow a + \overrightarrow a + ... + \overrightarrow a = [1 + 1 + ... + 1]\overrightarrow a = n\overrightarrow a \]
Bài 1.23 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \] thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \] [I là trung điểm của BC]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} \]
Từ đó suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng, trong đó GA = 2GI, G nằm giữa A và I.
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.