Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 58. Giải các phương trình
a] \[1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\]
b] \[5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\] [1]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0[*] \hfill \cr} \right.\]
Giải [*]: \[1,2x^2 x 0,2 = 0\]
Ta có: \[a + b + c = 1,2 + [-1] + [-0,2] = 0\]
Vậy [*] có 2 nghiệm: \[{x_1}= 1\]; \[{x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} = - {1 \over 6}\]
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = - {1 \over 6}\]
b] \[5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\]
\[ x^2[5x 1] [5x 1] = 0\]
\[[5x 1][x^2 1] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {1 \over 5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình [2] có 3 nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 5};{x_2} = - 1;{x_3} = 1\]
Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 59. Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a] \[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\]
b] \[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\]
Đặt \[x^2 2x = t\]. Khi đó [1] \[ 2t^2+ 3t +1 = 0 \][*]
Phương trình [*] có \[a b + c = 2 3 + 1 = 0\]
Vậy phương trình [*] có hai nghiệm:
- Với \[t = -1\]. Ta có
\[\eqalign{
& {x^2} - 2{\rm{x}} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 1 \cr}\]
- Với \[t = - {1 \over 2}\]. Ta có:
\[\eqalign{
& {x^2} - 2{\rm{x}} = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 2.1 = 4 - 2 = 2 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 2 \cr
& \Rightarrow {x_3} = {{ - \left[ { - 2} \right] + \sqrt 2 } \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \cr
& {x_4} = {{ - \left[ { - 2} \right] - \sqrt 2 } \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \[{x_1} = {x_2} = 1;{x_3} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2};{x_4} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2}\]
b] \[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\]
Đặt \[x + {1 \over x} = t\]ta có phương trình: \[t^2 4t + 3t = 0\]
Phương trình có \[a + b + c = 1 4 + 3 =0\] nên có 2 nghiệm \[{t_1} =1, {t_2}=3\]
Với \[{t_1} =1\], ta có:
\[\eqalign{
& x + {1 \over x} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4 = - 3 < 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm
Với \[{t_2}=3\], ta có
\[\eqalign{
& x + {1 \over x} = 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4 = 5 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}[TM] \cr} \]
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \[\Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]
Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm [ghi kèm theo], hãy tìm nghiệm kia:
a] \[12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\]
b] \[2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\]
c] \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \]
d] \[{x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\]
Ta có: \[{x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}\]
b]\[2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\]
Ta có: \[{x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow {x_2} = {{13} \over 2}\]
c] \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \]
Ta có:
\[\eqalign{
& {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr
& \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr
& \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr} \]
d] \[{x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\]
Vì \[{x_1}= 2\] là một nghiệm của pt [1] nên
\[2^2- 2m.2 + m - 1 = 0\]
\[ m = 1\]
Khi \[m = 1\] ta có: \[{x_1}{x_2}= m - 1\] [hệ thức Vi-ét]
\[ 2.{x_2}= 0\] [vì \[{x_1}= 2\] và \[m = 1\]]
\[ {x_2}= 0\]