Bài 1.42 trang 35 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số \[y = 2{x^4} - 4{x^2}\] [1]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1].
b] Với giá trị nào của m, phương trình \[{x^2}|{x^2} - 2| = m\]có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
[Đề thi đại học năm 2009; khối B]
Hướng dẫn làm bài:
a] Tập xác định : D = R
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng [-1; 0] và \[[1; + \infty ]\]
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \[[ - \infty ; - 1];[0;1]\]
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm 1;{y_{CT}} = - 2\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
\[y'' = 24{x^2} - 8;y'' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 3} \Leftrightarrowx = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\]
Đồ thị có hai điểm uốn: \[{I_1}[ - {{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9}];\,\,{I_2}[{{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9}]\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại:
b] Ta có: \[{x^2}|{x^2} - 2| = m\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 2{x^2}|{x^2} - 2| = 2m \cr
& \Leftrightarrow |2{x^2}[{x^2} - 2]| = 2m \cr
& \Leftrightarrow |2{x^4} - 4{x^2}| = 2m \cr} \]
Từ đồ thị hàm số y = 2x4 4x2có thể suy ra đồ thị của hàm số \[y = |2{x^4} - 4{x^2}|\]như sau:
Phương trình : \[|2{x^4} - 4{x^2}| = 2m\] có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị [H]
\[0 < 2m < 2\]
\[0 < m < 1\]
Bài 1.43 trang 35 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: \[y = {{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c] Biện luận theo k số giao điểm của [C] với đồ thị [P] của hàm số: \[ y = k {2x^2}.\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Học sinh tự giải
b] \[{{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4} = 0 \Leftrightarrow{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\]
\[ \Leftrightarrow [{x^2} + 1][{x^2} - 9] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\]
[C] cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3
Ta có: \[y' = {x^3} - 4x\]
Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:
\[y = y[3][x 3]\] và \[y = y[-3][x + 3]\]
Hay \[y = 15[x 3]\] và \[y = -15[x + 3]\]
c] \[{{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4} = k - 2{x^2} \Leftrightarrow{x^4} = 9 + 4k\]
Từ đó, ta có:
\[k = - {9 \over 4}\] : [C] và [P] có một điểm chung là \[[0; - {9 \over 4}]\]
\[k > - {9 \over 4}\] : [C] và [P] có hai giao điểm.
\[k < - {9 \over 4}\]: [C] và [P] không cắt nhau.
Bài 1.44 trang 35 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: y = x4+ mx2 m 5 .
a] Xác định m để đồ thị [Cm] của hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C-2] [ứng với m = -2] song song với đường thẳng y = 2x 1.
Hướng dẫn làm bài:
a] y = x4+ mx2 m 5 ;
y = 4x3+ 2mx = 2x[2x2+ m]
[Cm] có ba điểm cực trị khi y = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là:
2x[2x2+ m] = 0 có ba nghiệm phân biệt
⟺2x2+ m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⟺m < 0.
b] Đường [C-2] có phương trình là y = x4 2x2 3 ;
y = 4x3 4x
Tiếp tuyến của [C-2] song song với đường thẳng y = 24x 1 và đi qua điểm trên đồ thị có hoành độ thỏa mãn:
4x3 4x = 24
⟺x3 x 6 = 0 ⟺ [x 2][x2+ 2x + 3 ] = 0 ⟺x = 2
Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là y y[2] = 24[x 2]
⟺y = 24x 43.
Bài 1.45 trang 35 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: y = x4 2x2.
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2.
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008].
Hướng dẫn làm bài:
a]
b] Ta có: y = 4x3 4x ; y[-2] = 8; y[-2] = -24
Phương trình tiếp tuyến phải tìm là:
y y[-2] = y[-2][x +2]
y 8 = -24[x + 2] y = -24x - 40