Câu 144 trang 98 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
Giải:
Xét tứ giác AMDN:
\[\widehat {MAN} = \]1v [gt]
DM AB [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {AMD}\]= 1v
DN AC [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {AND}\]=1v
Suy ra: Tứ giác AMDN là hình chữ nhật [vì có ba góc vuông], có đường chéo AD là đường phân giác của góc A.
Vậy : Hình chữ nhật AMDN là hình vuông.
Câu 145 trang 98 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì ? Vì sao ?
Giải:
AB = BC = CD = DA [gt]
AE = BK = CP = DQ [gt]
Suy ra: EB = KC = PD = QA
- Xét AEQ và BKE :
AE = BK [gt]
\[\widehat A = \widehat B = {90^0}\]
QA = EB [chứng minh trên]
Do đó: AEQ = BKE [c.g.c] EK = EQ [1]
- Xét BKE và CPK :
BK = CP [gt]
\[\widehat B = \widehat C = {90^0}\]
EB = KC [chứng minh trên]
Do đó: BKE = CPK [c.g.c] EK = KP [2]
Xét CPK và DQP :
CP = DQ [gt]
\[\widehat C = \widehat D = {90^0}\]
DP = CK [chứng minh trên]
Do đó: CPK = DQP [c.g.c] KP = PQ [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: EK = KP = PQ = EQ
Tứ giác EKPQ là hình thoi.
Câu 146 trang 98 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C.
Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H.
Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K.
a. Tứ giác AHIK là hình gì ?
b. Điểm I nằm ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi ?
c. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật ?
Giải:
a. Ta có: IK // AC [gt]
hay IK // AH
IH // AB [gt]
hay IH // AK
Vậy tứ giác AHIK là hình bình hành [theo định nghĩa]
b. Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác của
Ngược lại AI là phân giác của . Hình bình hành AHIK có đường chéo là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.
Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.
c. Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật
\[ \Rightarrow \widehat A = {90^0}\]suy ra ABC vuông tại A
Ngược lại ABC có \[\widehat A = {90^0}\]
Suy ra: Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật.
Vậy nếu ABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Câu 147 trang 98 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.
Giải:
Xét tứ giác APQD ta có:
AB // CD [gt] hay AP // QD
AP = \[{1 \over 2}\]AB [gt]
QD = \[{1 \over 2}\]CD [gt]
Suy ra: AP = QD nên tứ giác APQD là hình bình hành.
\[\widehat A = {90^0}\]
Suy ra: Tứ giác APQD là hình chữ nhật
AD = AP = \[{1 \over 2}\]AB
Vậy : Tứ giác APQD là hình vuông
AQ PD [tính chất hình vuông] \[ \Rightarrow \widehat {PHQ} = {90^0}\] [1]
HP = HQ [tính chất hình vuông]
- Xét tứ giác PBCQ ta có:
PB // CD
PB = \[{1 \over 2}\]AB [gt]
CQ = \[{1 \over 2}\]CD [gt]
Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
\[\widehat B = {90^0}\]suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật
PB = BC [vì cùng bằng AD = \[{1 \over 2}\]AB]
Vậy: Tứ giác PBCQ là hình vuông
PC BQ [tính chất hình vuông] \[ \Rightarrow \widehat {PKQ} = {90^0}\][2]
PD là tia phân giác \[\widehat {APQ}\] [tính chất hình vuông]
PC là tia phân giác \[\widehat {QPB}\] [tính chất hình vuông]
Suy ra: PD PC [tính chất hai góc kề bù] \[\widehat {HPK} = {90^0}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.