Câu 3.1 trang 27 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Rút gọn phân thức :
a. \[{{{x^4} - {y^4}} \over {{y^3} - {x^3}}}\]
b. \[{{\left[ {2x - 4} \right]\left[ {x - 3} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {3{x^2} - 27} \right]}}\]
c. \[{{2{x^3} + {x^2} - 2x - 1} \over {{x^3} + 2{x^2} - x - 2}}\]
Giải:
a. \[{{{x^4} - {y^4}} \over {{y^3} - {x^3}}}\] \[ = {{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]} \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {{y^2} + xy + {x^2}} \right]}} = {{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]\left[ {x - y} \right]} \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {{y^2} + xy + {x^2}} \right]}}\]
\[ = - {{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]\left[ {x - y} \right]} \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {{x^2} + xy + {y^2}} \right]}} = {{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]} \over {{x^2} + xy + {y^2}}}\]
b. \[{{\left[ {2x - 4} \right]\left[ {x - 3} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {3{x^2} - 27} \right]}}\] \[ = {{2\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 3} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]3\left[ {{x^2} - 9} \right]}} = {{2\left[ {x + 3} \right]} \over {3\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}} = {2 \over {3\left[ {x - 3} \right]}}\]
c. \[{{2{x^3} + {x^2} - 2x - 1} \over {{x^3} + 2{x^2} - x - 2}}\]\[ = {{2x\left[ {{x^2} - 1} \right] + \left[ {{x^2} - 1} \right]} \over {x\left[ {{x^2} - 1} \right] + 2\left[ {{x^2} - 1} \right]}} = {{\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {2x + 1} \right]} \over {\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x + 2} \right]}} = {{2x + 1} \over {x + 2}}\]
Câu 3.2 trang 27 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Rút gọn phân thức:
Q\[ = {{{x^{10}} - {x^8} - {x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} + 1} \over {{x^{30}} + {x^{24}} + {x^{18}} + {x^{12}} + {x^6} + 1}}\]
Giải:
Q\[ = {{{x^{10}} - {x^8} - {x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} + 1} \over {{x^{30}} + {x^{24}} + {x^{18}} + {x^{12}} + {x^6} + 1}}\]
\[\eqalign{ & = {{\left[ {{x^{10}} - {x^8} + {x^6}} \right] - \left[ {{x^7} - {x^5} + {x^3}} \right] + \left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]} \over {\left[ {{x^{30}} + {x^{24}} + {x^{18}}} \right] + \left[ {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right]}} \cr & = {{{x^6}\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right] - {x^3}\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right] + \left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]} \over {{x^{18}}\left[ {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right] + \left[ {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right]}} \cr & = {{\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]\left[ {{x^6} - {x^3} + 1} \right]} \over {\left[ {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right]\left[ {{x^{18}} + 1} \right]}} = {{\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]\left[ {{x^6} - {x^3} + 1} \right]} \over {\left[ {{x^{12}} + 2{x^6} + 1 - {x^6}} \right]\left[ {{{\left[ {{x^6}} \right]}^3} + 1} \right]}} \cr & = {{\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]\left[ {{x^6} - {x^3} + 1} \right]} \over {\left[ {{{\left[ {{x^6} + 1} \right]}^2} - {{\left[ {{x^3}} \right]}^2}} \right]\left[ {{x^6} + 1} \right]\left[ {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right]}} \cr & = {{\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]\left[ {{x^6} - {x^3} + 1} \right]} \over {\left[ {{x^6} + {x^3} + 1} \right]\left[ {{x^6} + 1 - {x^3}} \right]\left[ {{x^6} + 1} \right]\left[ {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right]}} \cr & = {{{x^4} - {x^2} + 1} \over {\left[ {{x^6} + {x^3} + 1} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]\left[ {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right]}} \cr & = {1 \over {\left[ {{x^6} + {x^3} + 1} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right]}} \cr} \]