Bài 49 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a]\[co{s^2}\left[ {\alpha {\rm{ }} + x} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left[ {\alpha {\rm{ }} + x} \right];\]
b] \[sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx\]
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& co{s^2}\left[ {\alpha + x} \right] + co{s^2}x - 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left[ {\alpha + x} \right] \cr
& = \cos [\alpha + x]{\rm{[}}\cos [\alpha + x] - 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = \cos [\alpha + x][ - \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ] + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = - \cos [\alpha + x]cos[\alpha - x] + {\cos ^2}x \cr
& = - {1 \over 2}[cos2\alpha + \cos 2x] + {\cos ^2}x \cr
& = - {1 \over 2}\cos 2\alpha - {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = - {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr
& = {\sin ^2}\alpha \cr} \]
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.
b] Ta có:
\[\eqalign{
& sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx \cr
& = {1 \over 2}[cos6x - \cos 14x] - {1 \over 2}[cos8x - \cos 14x] \cr&- {1 \over 2}[cos6x - \cos 8x] \cr
& = 0 \cr} \]
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.
Bài 50 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:
a] \[sinA = cosB + cosC\] thì ΔABC vuông
b] \[sinA = 2sinB.cosC\] thì ΔABC cân
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}[cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\;[\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ] \cr} \]
Nhưng: \[0 < {A \over 2} < {\pi \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi \over 2}\], nên:
\[\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B - C|\]
+ Nếu B > C thì A = B C. Suy ra: \[S = {\pi \over 2}\]
+ Nếu B < C thì A = C B. Suy ra:\[C = {\pi \over 2}\]
b] \[sinA = 2sinB.cosC \]
\[ sin A = sin [B + C] + sin [B C]\]
\[ sin A = sin[π A] + sin[B C] \]
\[ sin[B C] = 0\]
Vì \[0 |B C| π\], nên \[B C = 0\]
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 51 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu \[ + β + γ = π\] thì
a] \[\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2}\]
b] \[\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2}\]
c] \[sin2 + sin2β + sin2γ = 4sin sinβ sin γ\]
d] \[co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 2cos cosβ cosγ\]
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma\cr& = \sin \alpha + 2\sin {{\beta + \gamma } \over 2}\cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr
& = \sin \alpha + 2\sin {{\pi - \alpha } \over 2}\cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr&= 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2} + 2\cos {\alpha \over 2} \cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}[\sin {\alpha \over 2} + \cos {{\beta - \gamma } \over 2}]\cr& = 2\cos {\alpha \over 2}{\rm{[sin}}{{\pi - [\beta + \gamma ]} \over 2} + \cos{{\beta - \gamma } \over 2}{\rm{]}} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}[cos{{\beta + \gamma } \over 2} + \cos {{\beta - \gamma } \over 2}] \cr
& =4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2} \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \cr&= 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha - \beta } \over 2} + 1 - 2\sin {{2\gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos [{\pi \over 2} - {\gamma \over 2}]cos{{\alpha - \beta } \over 2} + 1 - 2{\sin ^2}{\gamma \over 2} \cr&= 1 + 2\sin {\gamma \over 2}[cos{{\alpha - \beta } \over 2} - \sin {\gamma \over 2}] \cr
& = 1 + 2\sin {\gamma \over 2}[cos{{\alpha - \beta } \over 2} - cos{{\alpha + \beta } \over 2}] \cr
& = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2} \cr} \]
c] \[sin2 + sin2β + sin2γ\]
\[= 2sin [ + β]cos[ - β ] + 2sinγcosγ\]
\[= 2sinγ [cos[ - β ] - cos[ + β]] \]
\[= 4sin sinβ sin γ\]
d] Ta có:
\[\eqalign{
& co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }} \cr
& {\rm{ = }}{{1 + \cos 2\alpha } \over 2} + {{1\cos 2\beta } \over 2} + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + {1 \over 2}[cos2\alpha + \cos 2\beta ] + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos [\alpha + \beta ]cos[\alpha - \beta ] + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos \gamma [\cos \gamma - \cos [\alpha - \beta ]] \cr&= 1 - \cos \gamma {\rm{[cos[}}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{] + cos[}}\alpha {\rm{ - }}\beta ]{\rm{]}} \cr
& = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2cos \propto {\rm{ }}cos\beta {\rm{ }}cos\gamma \cr} \]