Bài 1.23 trang 20 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = x + {9 \over x}\]trên đoạn [2; 4]
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008]
Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D = R\{0}
\[\eqalign{
& f'[x] = 1 - {9 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 9} \over {{x^2}}} \cr
& f'[x] = 0 < = > x = \pm 3 \cr} \]
Hàm số nghịch biến trong các khoảng [-3; 0], [0; 3] và đồng biến trong các khoảng \[[ - \infty ;3],[3; + \infty ]\]
Bảng biến thiên:
Ta có: \[{\rm{[}}2;4] \subset [0; + \infty ];f[2] = 6,5;f[3] = 6;f[4] = 6,25\]
Suy ra : \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}2;4]} f[x] = f[3] = 6;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}2;4]} f[x] = f[2] = 6,5\].
Bài 1.24 trang 20 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm các giá trị của m để phương trình : x3 3x2 m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn làm bài:
Đặt f[x] = x3 3x2 [C1]
y = m [C2]
Phương trình x3 3x2 m = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi [C1] và [C2] có ba giao điểm.
Ta có:
\[\eqalign{
& f'[x] = 3{x^2} - 6x = 3x[x - 2] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Suy ra [C1],[C2] cắt nhau tại 3 điểm khi -4 < m < 0
Kết luận : Phương trình x3 3x2 m = 0 có ba nghiệm phân biệt với những giá trị của m thỏa mãn điều kiện: -4 < m < 0.
Bài 1.25 trang 20 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Hướng dẫn làm bài:
Cho m > 0. Đặt x là số thứ nhất, 0 < x < m , số thứ hai là m x
Xét tích P[x] = x[m x]
Ta có: P[x] = - 2x + m
\[P'[x] = 0 < = > x = {m \over 2}\]
Bảng biến thiên
Từ đó ta có giá trị lớn nhất của tích hai số là: \[\mathop {\max }\limits_{[0;m]} P[x] = P[{m \over 2}] = {{{m^2}} \over 4}\].