Bài 1.47 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxycho đường tròn \[\left[ C \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\]. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục \[d:x = 1\].
Giải:
Chỉ cần tìm ảnh của tâm đường tròn qua trục d.
Bài 1.48 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxycho đường tròn \[\left[ C \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\]. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay \[{Q_{\left[ {0; - 90^\circ } \right]}}\]với O là gốc tọa độ.
Giải:
[C]có tâm \[I\left[ {1;2} \right]\], bán kính R = 3. Gọi I; Rlần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ảnh, ta có:
\[ I' = {Q_{\left[ {O, - {{90}^0}} \right]}}\left[ I \right] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x' = y = 2 \hfill \cr
y' = - x = - 1 \hfill \cr} \right.\] và R = 3.
Vậy phương trình [C]là \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 9\].
Bài 1.49 trang 41 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, ta dựng hình vuông BCDE. Kẻ DM vuông góc với AB, ENvuông góc với AC, và kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, EN, và AH đồng quy.
Giải:
Nếu ta kéo tam giác ABC xuống theo phương AHsao cho Btrùng E, Ctrùng Dthì Atrùng với A. Khi đó MD, EN, AH là ba đường cao của tam giác AEDnên chúng đồng quy.
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {BE} \]ta có
\[{T_{\overrightarrow {BE} }}:A \mapsto A'\]
\[B \mapsto E\]
\[C \mapsto D\]
Khi đó, ta có: \[A'E\parallel AB,A'D\parallel AC\].
Gọi \[I = DM \cap EN\]
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
AB \bot DM \hfill \cr
AB\parallel A'E \hfill \cr} \right. \Rightarrow DM \bot A'E\]
Tương tự, ta có: \[EN \bot A'D\].
Xét AED, vì Ilà giao điểm của hai đường cao nên Ilà trực tâm của tam giác trên.
Suy ra \[A'I \bot E{\rm{D}}\]
\[ \Rightarrow AI \bot BC'\]hay \[I \in AH\]
Vậy AH, DM, EN đồng quy tại I.
Bài 1.50 trang 41 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hai đường tròn có cùng bán kính Rcắt nhau tại hai điểm M, N. Đường trung trực của MN cắt hai đường tròn tại hai điểm A, Bvà nằm cùng phía đối với MN. Chứng minh rằng \[M{N^2} + A{B^2} = 4{R^2}\].
Giải:
\[{T_{\overrightarrow {{O_2}{O_1}} }}:B \mapsto A\]
\[M \mapsto E\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {{O_2}{O_1}} \]
NME vuông tại M [vì \[ME\parallel AB\]và \[AB \bot MN\]], do đó NElà đường kính. Từ đó ta có:
\[\eqalign{
& N{E^2} = N{M^2} + M{E^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {2{\rm{R}}} \right]^2} = M{N^2} + A{B^2} \cr
& \Leftrightarrow M{N^2} + A{B^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \]