Câu 5 trang 156 SGK Đại số 10
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a] \[\cos {{22\pi } \over 3}\]
b] \[\sin {{23\pi } \over 4}\]
c] \[\sin {{25\pi } \over 3} - \tan {{10\pi } \over 3}\]
d] \[{\cos ^2}{\pi \over 8} - {\sin ^2}{\pi \over 8}\]
Trả lời:
a] \[\cos {{22\pi } \over 3} = \cos [8\pi - {{2\pi } \over 3}]\]
\[= \cos [ - {{2\pi } \over 3}] = \cos [{{2\pi } \over 3}] \]
\[= - \cos {\pi \over 3} = {{ - 1} \over 2}\]
b] \[\sin {{23\pi } \over 4} = \sin [6\pi - {\pi \over 4}]\]
\[= \sin [ - {\pi \over 4}] = - \sin [{\pi \over 4}] = - {{\sqrt 2 } \over 2}\]
c]
\[\eqalign{
& \sin {{25\pi } \over 3} - \tan {{10\pi } \over 3} = \sin [8\pi + {\pi \over 3}] - \tan [3\pi + {\pi \over 3}] \cr
& = sin{\pi \over 3} - \tan {\pi \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} - \sqrt 3 = {{ - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \]
d] \[{\cos ^2}{\pi \over 8} - {\sin ^2}{\pi \over 8} = \cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\]
Câu 6 trang 156 SGK Đại số 10
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a] \[\sin {75^0} + \cos {75^0} = {{\sqrt 6 } \over 2}\]
b] \[\tan {267^0} + \tan {93^0} = 0\]
c] \[\sin {65^0} + \sin {55^0} = \sqrt 3 \cos {5^0}\]
d] \[\cos {12^0} - \cos {48^0} = \sin {18^0}\]
Trả lời:
a]
\[\eqalign{
& \sin {75^0} + \cos {75^0} = \sin [{45^0} + {30^0}] + \cos [{45^0} + {30^0}] \cr
& = \sin {45^0}.\cos{30^0} + \cos {45^0}.\sin {30^0} + \cos {45^0}.\cos{30^0} - \sin {45^0}.\sin{30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}[\cos{30^0} + \sin {30^0} + \cos{30^0} - \sin {30^0}] \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}.2{{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2} \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& \tan {267^0} + \tan {93^0} = \tan [{267^0} - {360^0}] + \tan {93^0} \cr
& = \tan [ - {93^0}] + tan{93^0} = 0 \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& \sin {65^0} + \sin {55^0} = 2\sin {{{{65}^0} + {{55}^0}} \over 2}\cos {{{{65}^0} - {{55}^0}} \over 2} \cr
& = 2\sin {60^0}\cos {5^0} = \sqrt 3 \cos {5^0} \cr} \]
d]
\[\eqalign{
& \cos {12^0} - \cos {48^0} = - 2\sin {{{{12}^0} + {{48}^0}} \over 2}\sin {{{{12}^0} - {{48}^0}} \over 2} \cr
& = - 2\sin {30^0}\sin [ - {18^0}] = 2\sin {30^0}\sin {18^0} = 2.{1 \over 2}\sin {18^0} = \sin {18^0} \cr} \]
Câu 7 trang 156 SGK Đại số 10
Chứng minh các đồng nhất thức.
a] \[{{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x\]
b] \[{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}\]
c] \[{{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}[{\pi \over 4} - x]\]
d] \[\tan x - \tan y = {{\sin [x - y]} \over {\cos x.cosy}}\]
Trả lời:
a]
\[{{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = {{1 + \cos 2x - \cos x} \over {2\sin x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {{\cos x[2\cos x - 1]} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}[2\cos x - 1]}} = \cot x\]
b]
\[{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}}\]
\[= {{2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2} + \cos {x \over 2}}}\]
\[= {{\sin {x \over 2}[2\cos {x \over 2} + 1]} \over {\cos {x \over 2}[2\cos {x \over 2} + 1]}}\]=
\[=\tan {x \over 2} \ \]
c]
\[{{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\]
\[= {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\]
\[= {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\]
\[= {{1 - \cos [{\pi \over 2} - 2x]} \over {1 + \cos [{\pi \over 2} - 2x]}}\]
\[= {{2{{\sin }^2}[{\pi \over 4} - x]} \over {2{{\cos }^2}[{\pi \over 4} - x]}}\]
\[= {\tan ^2}[{\pi \over 4} - x] \]
d]
\[\tan x - \tan y\]
\[= {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}\]
\[= {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}\]
\[= {{\sin [x - y]} \over {\cos x\cos y}}\]
Câu 8 trang 156 SGK Đại số 10
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \[x\]
a] \[A = \sin [{\pi \over 4} + x] - \cos [{\pi \over 4} - x]\]
b] \[B = \cos [{\pi \over 6} - x] - \sin [{\pi \over 3} + x]\]
c] \[C = {\sin ^2}x + \cos [{\pi \over 3} - x]cos[{\pi \over 3} + x]\]
d] \[D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\]
Trả lời:
a]
\[\eqalign{
& A = \sin [{\pi \over 4} + x] - \cos [{\pi \over 4} - x] \cr
& = \sin {\pi \over 4}\cos x + \cos {\pi \over 4}\sin x - \cos x\cos {\pi \over 4} - \sin {\rm{x}}\cos {\pi \over 4} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}[\cos x + \sin x - \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}] = 0 \cr} \]
Không phụ thuộc vào \[x\]
b]
\[\eqalign{
& B = \cos [{\pi \over 6} - x] - \sin [{\pi \over 3} + x] \cr
& = \cos {\pi \over 6}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sin {\pi \over 6}sinx - sin{\pi \over 3}\cos x - \cos {\pi \over 3}\sin x \cr
& = \cos x[\cos {\pi \over 6} - sin{\pi \over 3}] + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}[\sin {\pi \over 6} - \cos {\pi \over 3}] = 0 \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& C = {\sin ^2}x + \cos [{\pi \over 3} - x]cos[{\pi \over 3} + x] \cr
& = {\sin ^2}x + \left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x + \sin {\pi \over 3}\sin x} \right]\left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x - \sin {\pi \over 3}\sin x} \right] \cr
& = {\sin ^2}x + {\cos ^2}{\pi \over 3}{\cos ^2}x - {\sin ^2}{\pi \over 3}{\sin ^2}x \cr
& = {\sin ^2}x + {1 \over 4}{\cos ^2}x - {3 \over 4}{\sin ^2}x = {1 \over 4}[{\cos ^2}x + {\sin ^2}x] = {1 \over 4} \cr} \]
d] \[D = {{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x} \over {2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}\cot x = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}.{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 1\]