Câu 21 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau :
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}}\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 - x} }}\]
Giải:
a. Với \[x -1\] ta có \[f\left[ x \right] = {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}} = {{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 4} \right]} \over {x + 1}} = x - 4\]
Với mọi dãy số [xn] trong khoảng \[\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\][tức \[x_n -1, n\]] mà \[\lim\, x_n= -1\] ta có :
\[\lim f\left[ x_n \right] = \lim \left[ {{x_n} - 4} \right] = - 1 - 4 = - 5\]
Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}} = - 5\]
b. Tập xác định của hàm số \[f\left[ x \right] = {1 \over {\sqrt {5 - x} }}\] là \[D = [- ; 5]\]
Với mọi dãy [xn] trong khoảng \[\left[ { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\]sao cho \[\lim\, x_n= 1\], ta có :
\[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim {1 \over {\sqrt {5 - {x_n}} }} = {1 \over 2}\]
Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 - x} }} = {1 \over 2}\]
Câu 22 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \cos {1 \over x}\] và hai dãy số \[\left[ {x{'_n}} \right],\left[ {x{"_n}} \right]\] với
\[x_n' = {1 \over {2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x''_n= {1 \over {\left[ {2n + 1} \right]{\pi \over 2}}}\]
a. Tìm giới hạn của các dãy số \[\left[ {x_n'} \right],\left[ {x_n"} \right],\left[ {f\left[ {x_n'} \right]} \right]\,va\,\left[ {f\left[ {x_n"} \right]} \right]\]
b. Tồn tại hay không \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}?\]
Giải:
a. Ta có:
\[\eqalign{
& \lim x_n' = \lim {1 \over {2n\pi }} = 0 \cr
& \lim x''_n = \lim {1 \over {\left[ {2n + 1} \right]{\pi \over 2}}} = 0 \cr
& \lim f\left[ {x{'_n}} \right] = \lim \cos 2n\pi = 1 \cr
& \lim f\left[ {x{"_n}} \right] = \lim \cos \left[ {2n + 1} \right]{\pi \over 2} = 0 \cr} \]
b. Vì \[\lim f\left[ {x{'_n}} \right] \ne \lim f\left[ {x''{_n}} \right]\] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}\]
Câu 23 trang 152 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {3{x^2} + 7x + 11} \right]\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - {x^3}} \over {\left[ {2x - 1} \right]\left[ {{x^4} - 3} \right]}}\]
c. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {1 - {1 \over x}} \right]\]
d. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over {9x - {x^2}}}\]
e. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\]
f. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x - 1} \over {2{x^2} - 1}}} \]
Giải:
a. \[\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {3{x^2} + 7x + 11} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 7x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 11 \cr & = {3.2^2} + 7.2 + 11 = 37 \cr} \]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - {x^3}} \over {\left[ {2x - 1} \right]\left[ {{x^4} - 3} \right]}} = {0 \over { - 2}} = 0\]
c. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {1 - {1 \over x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {x - 1} \right] = - 1\]
d. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over {9x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over { - x\left[ {x - 9} \right]}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {1 \over {x\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} = - {1 \over {54}}\]
e. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = 1\]
f. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x - 1} \over {2{x^2} - 1}}} = \sqrt {{{{2^4} + 3.2 - 1} \over {{{22}^2} - 1}}} = \sqrt 3 \]
Câu 24 trang 152 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3{x^2} - x + 7} \over {2{x^3} - 1}}\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} - 15} \over {{x^4} + 1}}\]
c. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}}\]
d. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}}\]
Giải:
a.
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3{x^2} - x + 7} \over {2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^3}\left[ {{3 \over x} - {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \right]} \over {{x^3}\left[ {2 - {1 \over {{x^3}}}} \right]}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{3 \over x} - {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \over {2 - {1 \over {{x^3}}}}} = {0 \over 2} = 0 \cr} \]
b.
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} - 15} \over {{x^4} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^4}\left[ {2 + {7 \over x} - {{15} \over {{x^4}}}} \right]} \over {{x^4}\left[ {1 + {1 \over {{x^4}}}} \right]}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 + {7 \over x} - {{15} \over {{x^4}}}} \over {1 + {1 \over {{x^4}}}}} = 2 \cr} \]
c.
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {{x^3}\left[ {3 - {1 \over {{x^3}}}} \right]}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}} = {1 \over 3} \cr} \]
d. Với mọi \[x < 0\], ta có:
\[{{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = {{\left| x^3 \right|\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} - 1}} = {{ - {x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} - 1}} = {{ - \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}}\]
Do đó :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}} = - {1 \over 3}\]
Câu 25 trang 152 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} - x + 3}}} \]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} - x + 2}}\]
Giải
a. Ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} - x + 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{1 + {2 \over x}} \over {8 - {1 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}}} = {1 \over 2}\]
b.
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2}\left[ {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x \left[ {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right]}} = 0 \cr
& \text{vì}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x }} = 0\;\text{và}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr} \]