Bài 15 trang 89 SGK Hình học 10 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a] Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
b] Nếu hai đường thẳng \[\Delta \]và \[\Delta' \]lần lượt có phương trình \[px + y + m = 0\] và \[x + py + n = 0\]thì:
\[cos[\Delta ,\Delta '] = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\]
c] Trong tam giác ABC ta có
\[\cos A = cos\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\]
d] Nếu \[\varphi \]là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì
\[cos\varphi = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\]
e] Hai điểm [7, 6] và [-1, 2] nằm về hai phía của đường thẳng
Giải
Các mệnh đề đúng là: b], c], e].
Các mệnh đề sai là: a], d].
Bài 16 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho ba điểm \[A[4; - 1],B[ - 3;2],C[1;6]\] . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC .
Giải
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left[ { - 7;3} \right];\,\,\overrightarrow {AC} \left[ { - 3;7} \right] \cr
& \cos \widehat {BAC} = \cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left[ { - 7} \right].\left[ { - 3} \right] + 3.7} \over {\sqrt {{{\left[ { - 7} \right]}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left[ { - 3} \right]}^2} + {7^2}} }}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr
& \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36'. \cr} \]
Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \[{43^0}36'\][Vì góc BAC nhọn]
Bài 17 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \[ax + by + c = 0\]một khoảng bằng h cho trước.
Giải
Gọi \[\Delta :ax + by + c = 0\]
Đường thẳng \[\Delta '\]song song với đường thẳng \[\Delta \]đã cho có dạng:
\[\Delta ':ax + by + c' = 0.\]
Lấy \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \in \Delta \]ta có:
\[a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = - c\]
Khoảng cách từ M đến \[\Delta '\]bằng h nên ta có:
\[\eqalign{
& h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c'|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c' - c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c' - c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr
& \Rightarrow c' = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \]
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
\[ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0;\]
\[ax + by + c - h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0.\]