Bài 16 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
16. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a] \[\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\];
b] \[\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\];
c] \[\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\]
Bài giải:
a] \[\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\]
Từ phương trình [1] \[y = 3x - 5 \] [3]
Thế [3] vào phương trình [2]: \[5x + 2[3x - 5] = 23\]
\[ 5x + 6x - 10 = 23 11x = 33 x = 3\]
Từ đó \[y = 3 . 3 - 5 = 4\].
Vậy hệ có nghiệm \[[x; y] = [3; 4]\].
b] \[\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\]
Từ phương trình [2] \[y = 2x + 8 \] [3]
Thế [3] vào [1] ta được: \[3x + 5[2x + 8] = 1 3x + 10x + 40 = 1\]
\[ 13x = -39 x = -3\]
Từ đó \[y = 2[-3] + 8 = 2\].
Vậy hệ có nghiệm \[[x; y] = [-3; 2]\].
c] \[\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\]
Phương trình [1] \[ x = \frac{2}{3}y\] [3]
Thế [3] vào [2]: \[\frac{2}{3}y + y = 10 \frac{5}{3}y = 10\]
\[ y = 6\].
Từ đó \[x = \frac{2}{3} . 6 = 4\].
Vậy nghiệm của hệ là \[[x; y] = [4; 6]\].
Bài 17 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
17. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a] \[\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\];
b] \[\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\]
c] \[\left\{\begin{matrix} [\sqrt{2}- 1]x - y = \sqrt{2}& & \\ x + [\sqrt{2}+ 1]y = 1& & \end{matrix}\right.\]
Bài giải:
a] \[\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\]
Từ phương trình [2] \[x = \sqrt{2} - y\sqrt{3}\] [3]
Thế [3] vào [1]: \[[ \sqrt{2} - y\sqrt{3}]\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1\]
\[\sqrt{3}y[\sqrt{2} + 1] = 1\]
\[ y = \frac{1}{\sqrt{3}[\sqrt{2}+1]}= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\]
Từ đó \[x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}. \sqrt{3} = 1\].
Vậy có nghiệm \[[x; y] = [1; \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\]]
b] \[\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\]
Từ phương trình [2] \[y = 1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}\] [3]
Thế [3] vào [1]: \[x - 2\sqrt{2}[1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}] = \sqrt{5}\]
\[5x = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} x = \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\]
Từ đó \[y = 1 - \sqrt{10} - [\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}]. \sqrt{2} = \frac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\]
Vậy hệ có nghiệm \[[x; y]\] = \[[\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\frac{1 - 2\sqrt{10}}{5}]\];
c] \[\left\{\begin{matrix} [\sqrt{2}- 1]x - y = \sqrt{2}& & \\ x + [\sqrt{2}+ 1]y = 1& & \end{matrix}\right.\]
Từ phương trình [2] \[x = 1 - [\sqrt{2} + 1]y\] [3]
Thế [3] vào [1]:\[ [\sqrt{2} - 1][1 - [\sqrt{2} + 1]y] - y = \sqrt{2} -2y = 1\]
\[ y = -\frac{1}{2}\]
Từ đó \[x = 1 - [\sqrt{2} + 1][-\frac{1}{2}] = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\]
Vậy hệ có nghiệm \[[x; y]\] = [\[\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\]; -\[\frac{1}{2}\]]
Bài 18 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
18. a] Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
\[\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\]
Có nghiệm là \[[1; -2]\]
b] Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \[[\sqrt{2} - 1; \sqrt{2}]\].
Bài giải:
a] Hệ phương trình có nghiệm là \[[1; -2]\] khi và chỉ khi:
\[\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4& & \end{matrix}\right.\]
b] Hệ phương trình có nghiệm là \[[2 - 1; 2]\] khi và chỉ khi:
\[\left\{\begin{matrix} 2[\sqrt{2}-1]+b\sqrt{2}= -4 & & \\ [\sqrt{2}-1]b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ [\sqrt{2}-1]b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} b= -[2 + \sqrt{2}] & & \\ a\sqrt{2}= -[2 + \sqrt{2}][\sqrt{2}-1]+5& & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} b= -[2 + \sqrt{2}] & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} a = \frac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -[2+ \sqrt{2}]& & \end{matrix}\right.\]
Bài 19 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
19. Biết rằng: Đa thức \[P[x]\] chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[P[a] = 0\].
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \[x + 1\] và \[x - 3\]:
\[P[x] = m{x^3} + [m - 2]{x^2} - [3n - 5]x - 4n\]
Bài giải:
\[P[x]\] chia hết cho \[x + 1\]
\[ P[-1] = -m + [m - 2] + [3n - 5] - 4n = 0\]
\[-7-n=0\] [1]
\[P[x]\] chia hết cho \[x - 3\]
\[P[3] = 27m + 9[m - 2] - 3[3n - 5] - 4n = 0\]
\[36m-13n=3\] [2]
Từ [1] và [2], ta có hệ phương trình ẩn m và n.
\[\left\{\begin{matrix} -7 - n = 0& & \\ 36m - 13n = 3& & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = 3 + 13[-7]& & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = -88& & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \frac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\]