Câu I.1 Trang 123 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC có\[\widehat A = 105^\circ \],\[\widehat B = 45^\circ \],BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Gợi ý làm bài
Vẽ đường cao AH. Đặt BH = x, CH = y thì do H nằm giữa B và C [ hai góc$$\widehat B,\widehat C$$là góc nhọn] suy rax + y = 4 [xem h.bs.18].
Ta có BH = AH = HCtg30º nên x = \[ytg30^\circ = {y \over {\sqrt 3 }}\].
Vậy ta được \[x + \sqrt {3x} = 4\], suy ra \[x = {4 \over {1 + \sqrt 3 }} \approx 1,46\,[cm]\]
Vậy \[AB = {{AH} \over {\sin 45^\circ }} = {{2AH} \over {\sqrt 2 }} \approx 2,06\,[cm]\]
\[AC = 2AH \approx 1,46.2 = 2,92\,[cm]\]
Câu I.2 trang 123 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos \[\widehat {MAN}\]
Gợi ý làm bài
[h.bs.19].
Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có \[\sin \widehat {NAM} = {{HM} \over {AM}}\] và diện tích tam giác AMN là:
\[\eqalign{
& {S_{AMN}} = {1 \over 2}AN.MH = {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \cr
& = {1 \over 2}A{N^2}\sin \widehat {NAM} \cr} \]
\[ = {1 \over 2}[A{D^2} + D{N^2}]\sin \widehat {NAM} = {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\]
Mặt khác:
\[\eqalign{
& {S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADM}} - {S_{MNC}} \cr
& = 4{a^2} - 2{a^2} - {{{a^2}} \over 2} = {{3{a^2}} \over 2}. \cr} \]
Suy ra \[\sin \widehat {NAM} = {3 \over 5}\]
Từ đó:
\[\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}} = \sqrt {1 - {9 \over {25}}} = {4 \over 5}.\]
Câu I.3 trang 123 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Hãy tính góc A và các cạnh AB, BC, nếu biết
BH = h và \[\widehat C = \alpha .\]
Gợi ý làm bài
[h.bs.20].
\[\widehat A = 180^\circ - 2\alpha .\]
Tam giác vuông HBC có \[BC = {h \over {\sin \alpha }}\].
Kẻ đường cao AI của tam giác ABC thì được \[AC = {{IC} \over {\cos \alpha }} = {{{{BC} \over 2}} \over {{\rm{cos}}\alpha }} = {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\]
Vậy AB = AC = \[{h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\]