Câu 45 trang 59 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a]\[{\left[ {x + 2} \right]^2} - 3x - 5 = \left[ {1 - x} \right]\left[ {1 + x} \right]\]
b]\[{\left[ {x - 1} \right]^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\]
c]\[x\left[ {{x^2} - 6} \right] - {\left[ {x - 2} \right]^2} = {\left[ {x + 1} \right]^3}\]
d]\[{\left[ {x + 5} \right]^2} + {\left[ {x - 2} \right]^2} + \left[ {x + 7} \right]\left[ {x - 7} \right] = 12x - 23\]
Giải
a]
\[\eqalign{
& {\left[ {x + 2} \right]^2} - 3x - 5 = \left[ {1 - x} \right]\left[ {1 + x} \right] \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 3x - 5 = 1 - {x^2} \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2 = 0 \cr
& \Delta = 1 - 4.2.\left[ { - 2} \right] = 1 + 16 = 17 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} - 1} \over 4} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over {2.2}} = - {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& {\left[ {x - 1} \right]^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 7} \right]^2} - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {33} \cr
& {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{7 - \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 - \sqrt {33} } \over 4} \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& x\left[ {{x^2} - 6} \right] - {\left[ {x - 2} \right]^2} = {\left[ {x + 1} \right]^3} \cr
& \Leftrightarrow {x^3} - 6x - {x^2} + 4x - 4 = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \cr
& \Delta = {5^2} - 4.4.5 = 25 - 80 = - 55 < 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm.
d]
\[\eqalign{
& {\left[ {x + 5} \right]^2} + {\left[ {x - 2} \right]^2} + \left[ {x + 7} \right]\left[ {x - 7} \right] = 12x - 23 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 4x + 4 + {x^2} - 49 - 12x + 23 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {1^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \]
Phương trình có nghiệm số kép:\[{x_1} = {x_2} = 1\]
Câu 46 trang 59 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a]\[{{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\]
b]\[{{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\]
c]\[{{{x^2} - 3x + 5} \over {\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 2} \right]}} = {1 \over {x - 3}}\]
d]\[{{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 4} \right]}}\]
e]\[{{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\]
f]\[{{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\]
Giải
a] \[{{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\]điều kiện:\[x \ne \pm 1\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow 12\left[ {x + 1} \right] - 8\left[ {x - 1} \right] = \left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right] \cr
& \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 1.\left[ { - 21} \right] = 4 + 21 = 25 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \cr
& {x_2} = {{2 - 5} \over 1} = - 3 \cr} \]
Giá trị x = 7; x = -3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = 7;{x_2} = - 3\]
b] \[{{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\]điều kiện:$x \ne 3;x \ne 1\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow 16\left[ {1 - x} \right] + 30\left[ {x - 3} \right] = 3\left[ {x - 3} \right]\left[ {1 - x} \right] \cr
& \Leftrightarrow 16 - 16x + 30x - 90 = 3x - 3{x^2} - 9 + 9x \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 65 = 0 \cr
& \Delta ' = {1^2} - 3.\left[ { - 65} \right] = 1 + 195 = 196 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {196} = 14 \cr
& {x_1} = {{ - 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - 14} \over 3} = - 5 \cr} \]
Giá trị \[x = {{13} \over 3}\]và x = -5 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = {{13} \over 3};{x_2} = - 5\]
c] \[{{{x^2} - 3x + 5} \over {\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 2} \right]}} = {1 \over {x - 3}}\]điều kiện:\[x \ne 3;x \ne - 2\]
\[\Rightarrow {x^2} - 3x + 5 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\]
Phương trình có dạng:
\[\eqalign{
& a + b + c = 0 \cr
& 1 + \left[ { - 4} \right] + 3 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = 3 \cr} \]
Giá trị x = 3 không thỏa mãn điều kiện: loại
Vậy phương trình có một nghiệm x = 1
d] \[{{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 4} \right]}}\]điều kiện: \[x \ne 2;x \ne - 4\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow 2x\left[ {x + 4} \right] - x\left[ {x - 2} \right] = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left[ { - 8} \right] = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {x_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \]
Cả hai giá trị x = 2 và x = -4 không thỏa mãn điều kiện: loại
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
e] \[{{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\]điều kiện\[x \ne 1\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \cr
& \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = \left[ {{x^2} - x + 16} \right]\left[ {x - 1} \right] \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = {x^3} - {x^2} + 16x - {x^2} + x - 16 \cr
& \Leftrightarrow 9{x^2} - 11x - 14 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 11} \right]^2} - 4.9.\left[ { - 14} \right] = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \cr
& {x_2} = {{11 - 25} \over {2.9}} = {{ - 14} \over {18}} = - {7 \over 9} \cr} \]
Giá trị x = 2 và \[x = - {7 \over 9}\]thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có hai nghiệm\[{x_1} = 2;{x_2} = - {7 \over 9}\]
f]\[{{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\]
\[\Leftrightarrow {{{x^2} + 9x - 1} \over {\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {{x^2} - 1} \right]}} = {{17} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right]}}\]điều kiện\[x \ne \pm 1\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17\left[ {x - 1} \right] \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17x - 17 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 17x - 1 + 17 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 4} \right]^2} - 1.16 = 16 - 16 = 0 \cr} \]
Phương trình có nghiệm số kép:\[{x_1} = {x_2} = 4\]
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 4
Câu 47 trang 59 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a]\[3{x^2} + 6{x^2} - 4x = 0\]
b]\[{\left[ {x + 1} \right]^3} - x + 1 = \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]\]
c]\[{\left[ {{x^2} + x + 1} \right]^2} = {\left[ {4x - 1} \right]^2}\]
d]\[{\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]^2} = 6\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]\]
e]\[{\left[ {2{x^2} + 3} \right]^2} - 10{x^3} - 15x = 0\]
f]\[{x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0\]
Giải
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích.
a]\[3{x^3} + 6{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {3{x^2} + 6x - 4} \right] = 0\]
x = 0 hoặc\[3{x^2} + 6x - 4 = 0\]
\[\eqalign{
& 3{x^2} + 6x - 4 = 0 \cr
& \Delta ' = {3^2} - 3.\left[ { - 4} \right] = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3} \cr} \]
Vậy phương trình có 3 nghiệm:\[{x_1} = 0;{x_2} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_3} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3}\]
b]
\[\eqalign{
& {\left[ {x + 1} \right]^3} - x + 1 = \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right] \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - x + 1 = {x^2} - 2x - x + 2 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x + 5} \right] = 0 \cr} \]
x = 0 hoặc\[{x^2} + 2x + 5 = 0\]
\[\eqalign{
& {x^2} + 2x + 5 = 0 \cr
& \Delta ' = 1 - 1.5 = 1 - 5 = - 4 < 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0
c]
\[\eqalign{
& {\left[ {{x^2} + x + 1} \right]^2} = {\left[ {4x - 1} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + x + 1} \right]^2} - {\left[ {4x - 1} \right]^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left[ {{x^2} + x + 1} \right] + \left[ {4x - 1} \right]} \right]\left[ {\left[ {{x^2} + x + 1} \right] - \left[ {4x - 1} \right]} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + x + 1 + 4x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1 - 4x + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 5x} \right]\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left[ {x + 5} \right]\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 5 = 0} \cr
{{x^2} - 3x + 2 = 0} \cr} } \right. \cr} \]
x + 5 = 0 x = -5
\[{x^2} - 3x + 2 = 0\]có dạng: \[a + b + c = 0\], ta có:\[1 + \left[ { - 3} \right] + 2 = 0\]
\[{x_1} = 1;{x_2} = 2\]
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:\[{x_1} = 0;{x_2} = - 5;{x_3} = 1;{x_4} = 2\]
d]
\[\eqalign{
& {\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]^2} = 6\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]^2} - 6\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]\left[ {\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] - 6} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]\left[ {{x^2} + 3x - 4} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} + 3x + 2 = 0} \cr
{{x^2} + 3x - 4 = 0} \cr} } \right. \cr} \]
\[{x^2} + 3x + 2 = 0\]có dạng: \[a - b + c = 0\], ta có:
\[\eqalign{
& 1 - 3 + 2 = 0 \cr
& {x_1} = - 1;{x_2} = - 2 \cr} \]
\[{x^2} + 3x - 4 = 0\]có dạng:$a + b + c = 0\]
\[\eqalign{
& 1 + 3 + \left[ { - 4} \right] = 0 \cr
& {x_3} = 1;{x_4} = - 4 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:\[{x_1} = - 1;{x_2} = - 2;{x_3} = 1;{x_4} = - 4\]
e]
\[\eqalign{
& {\left[ {2{x^2} + 3} \right]^2} - 10{x^3} - 15x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {2{x^2} + 3} \right]^2} - 5x\left[ {2{x^2} + 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {2{x^2} + 3} \right]\left[ {2{x^2} + 3 - 5x} \right] = 0 \cr} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& 2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 3 > 0 \cr
& \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 3 = 0 \cr} \]
Phương trình có dạng:\[a + b + c = 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& 2 + \left[ { - 5} \right] + 3 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:\[{x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2}\]
f]
\[\eqalign{
& {x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left[ {x - 5} \right] - \left[ {x - 5} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x - 5} \right]\left[ {{x^2} - 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x - 5} \right]\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = 0 \cr
& \left[ {\matrix{
{x - 5 = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
{x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 5} \cr
{x = - 1} \cr
{x = 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:\[{x_1} = 5;{x_2} = - 1;{x_3} = 1\]