Bài 3.13 trang 103 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A[a; 0 ; 0], B[0; b; 0] , C[0; 0; c]
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Hướng dẫn làm bài
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - a;b;0]\] và\[\overrightarrow {AC} = [ - a;0;c]\]
Vì\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0\] nên góc \[\widehat {BAC}\] là góc nhọn.
Lập luận tương tự ta chứng minh được các góc \[\widehat B\] và \[\widehat C\]cũng là góc nhọn.
Bài 3.14 trang 103 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a] Có tâm I[5; -3; 7] và có bán kính r = 2.
b] Có tâm là điểm C[4; -4; 2] và đi qua gốc tọa độ;
c] Đi qua điểm M[2;-1;-3] và có tâm C[3; -2; 1]
Hướng dẫn làm bài:
a] [x 5]2 + [y +3]2 + [z 7]2 = 4 ;
b] [x 4]2 + [y +4]2 + [z 2]2 = 36;
c] [x 3]2 + [y + 2]2 + [z 1]2 = 18
Bài 3.15 trang 103 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:
a] x2 + y2 + z2 6x + 2y 16z 26 = 0 ;
b] 2x2 + 2y2 + 2z2 + 8x 4y 12z 100 = 0
Hướng dẫn làm bài
a] Tâm I[3; -1; 8], bán kính r = 10;
b] Tâm I[-2; 1; 3], bán kính r = 8.
Bài 3.16 trang 103 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A[1; 0; 0], B[0; -2; 0], C[0; 0; 4] và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Hướng dẫn làm bài:
Phương trình mặt cầu [S] cần tìm có dạng: x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0.
Vì \[A \in [S]\]nên ta có: 1 2a + d =0 [1]
\[B \in [S]\] nên ta có: 4 + 4b + d = 0 [2]
\[C \in [S]\]nên ta có: 16 8c + d = 0 [3]
\[D \in [S]\] nên ta có: d = 0 [4]
Giải hệ 4 phương trình trên ta có: \[d = 0,a = {1 \over 2},b = - 1,c = 2\].
Vậy mặt cầu [S] cần tìm có phương trình là: x2 + y2 + z2 x + 2y 4z = 0
Phương trình mặt cầu [S] có thể viết dưới dạng:
\[{[x - {1 \over 2}]^2} + {[y + 1]^2} + {[z - 2]^2} - {1 \over 4} - 1 - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow{[x - {1 \over 2}]^2} + {[y + 1]^2} + {[z - 2]^2} = {{21} \over 4}\]
Vậy mặt cầu [S] có tâm \[I[{1 \over 2}; - 1;2]\]và có bán kính\[r = {{\sqrt {21} } \over 2}\]