Bài 1.61 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho các điểm A'[-4;1], B'[2;4] và C'[2; - 2] lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.
a] Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC;
b] Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 1.72]
a]
\[\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {A'B'} = > \left\{ \matrix{
{x_A} - 2 = 6 \hfill \cr
{y_A} + 2 = 3 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_A} = 8 \hfill \cr
{y_A} = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {C'B'} = > \left\{ \matrix{
- 4 - {x_B} = 0 \hfill \cr
1 - {y_B} = 6 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_B} = - 4 \hfill \cr
{y_B} = - 5 \hfill \cr} \right.\]
\[\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {C'B'} = > \left\{ \matrix{
{x_C} + 4 = 0 \hfill \cr
{y_C} - 1 = 6 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_C} = - 4 \hfill \cr
{y_C} = 7 \hfill \cr} \right.\]
b] Tính tọa độ trọng tâm G, G'của tam giác ABC và A'B'C'ta được G[0;1] và G'[0;1].
Vậy G=G'
Bài 1.62 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho\[\overrightarrow a = [2; - 2]\] và\[\overrightarrow b = [1;4]\]
a] Tính tọa độ của vec tơ\[\overrightarrow a + \overrightarrow b ;\overrightarrow a - \overrightarrow b \] và\[2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \]
b] Hãy phân tích vec tơ\[\overrightarrow c = [5;0]\] theo hai vec tơ\[\overrightarrow a \] và\[\overrightarrow b \]
Gợi ý làm bài
a]\[\overrightarrow a + \overrightarrow b = [3;2]\]
\[\overrightarrow a - \overrightarrow b = [1; - 6]\]
\[2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = [7;8]\]
b] Giả sử\[c = h\overrightarrow a + k\overrightarrow b \]. Khi đó:
\[\left\{ \matrix{
2h + k = 5 \hfill \cr
- 2h + 4k = 0 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
h = 2 \hfill \cr
k = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \]
Bài 1.63 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho$$\overrightarrow a = [2;1],\overrightarrow b = [3; - 4],\overrightarrow c = [ - 7;2]$$
a] Tìm tọa độ của vec tơ\[\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \]
b] Tìm tọa độ vec tơ\[\overrightarrow x \] sao cho:\[\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \]
c] Tìm các số k và h sao cho:\[\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \]
Gợi ý làm bài
a]\[\overrightarrow u = [3.2 + 2.3 - 4.[ - 7];3.1 + 2.[ - 4] - 4.2]\]
\[\overrightarrow u = [40; - 13]\]
b]\[\overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow c - \overrightarrow a = [8; - 7]\]
c]\[k\overrightarrow a + h\overrightarrow b = [2k + 3h;k - 4h]\]
\[\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2k + 3h = - 7 \hfill \cr
k - 4h = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = - 2 \hfill \cr
h = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Bài 1.64 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
\[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {2 \over 3}\overrightarrow {MO} \]
Gợi ý làm bài
[Xem hình 1.73]
Qua M kẻ các đường thẳng sau:\[{K_1}{K_4}\]//AB,\[{K_2}{K_5}\]//AC,\[{K_3}{K_6}\]//BC
\[{K_1},{K_2} \in BC;{K_3},{K_4} \in AC;{K_5},{K_6} \in AB\]. Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \cr
& = {1 \over 2}[\overrightarrow {M{K_1}} + \overrightarrow {M{K_2}} + \overrightarrow {M{K_3}} + \overrightarrow {M{K_4}} + \overrightarrow {M{K_5}} + \overrightarrow {M{K_6}} ] \cr} \]
\[ = {1 \over 2}[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ]\]
[Vì\[M{K_5}A{K_4},M{K_3}C{K_2},M{K_1}B{K_6}\] là các hình bình hành]. Vậy
\[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {1 \over 2}.3\overrightarrow {MO} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \]