Bài 2.43 trang 132 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a] \[y = {x^{\sqrt 3 }}\]
b] \[y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\]
c] \[y = {x^{ - e}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số\[y = {x^{\sqrt 3 }}\]
Tập xác định: \[D = [0; + \infty ]\]
\[y' = \sqrt 3 {x^{\sqrt 3 - 1}}\]
\[y' > 0,\forall x \in D\]nên hàm số luôn đồng biến.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Đồ thị không có tiệm cận
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\]
Tập xác định: \[D = [0; + \infty ]\]
\[y' = \frac{1}{\pi }{x^{\frac{1}{\pi } - 1}}\]
\[y' > 0,\forall x \in D\]nên hàm số luôn đồng biến.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Đồ thị không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:
Đồ thị
c] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {x^{ - e}}\]
Tập xác định: \[D = [0; + \infty ]\]
\[y' = - e{x^{ - e - 1}}\]
\[y' < 0,\forall x \in D\]nên hàm số luôn nghịch biến
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\]
Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Bài 2.44 trang 132 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a] \[y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}\]
b] \[y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\]
c] \[y = \sqrt {\log x + \log [x + 2]} $\]
d] \[y = \sqrt {\log [x - 1] + \log [x + 1]} \]
Hướng dẫn làm bài:
a] Hàm số xác định khi:
\[{4^x} - 2 > 0\Leftrightarrow{2^{2x}} > 2\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\]
Vậy tập xác định là \[D = [\frac{1}{2}; + \infty ]\]
b] \[D = [ - \frac{2}{3};1]\]
c]
\[\eqalign{& \log x + \log [x + 2] \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\log [x[x + 2]{\rm{]}} \ge \log 1} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x - 1 \ge 0} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 1 - \sqrt 2 } \cr {x \ge - 1 + \sqrt 2 } \cr} } \right.} \cr {x > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \ge - 1 + \sqrt 2 \cr}\]
Vậy tập xác định là \[D = {\rm{[}} - 1 + \sqrt 2 ; + \infty ]\]
d] Tương tự câu c, \[D = {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty ]\].
Bài 2.45 trang 133 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hai hàm số:
\[f[x] = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},g[x] = \frac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}\]
a] Chứng minh rằng f[x] là hàm số chẵn, g[x] là hàm số lẻ.
b] Tìm giá trị bé nhất của f[x] trên tập xác định.
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có tập xác định của cả hai hàm số f[x], g[x] đều là R. Mặt khác:
\[f[ - x] = \frac{{{a^{ - x}} + {a^x}}}{2} = f[x],g[ - x] = \frac{{{a^{ - x}} - {a^x}}}{2} = - g[x]\]
Vậy f[x] là hàm số chẵn, g[x] là hàm số lẻ.
b] Ta có: \[f[x] = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} \ge \sqrt {{a^x}{a^{ - x}}} = 1,\forall x \in R\] và \[f[0] = \frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1\]
Vậy min f[x] = f[0] = 1.
Bài 2.46 trang 133 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho a + b = c với a > 0, b > 0.
a] Chứng minh rằng \[{a^m} + {b^m} < {c^m}\] , nếu m > 1.
b] Chứng minh rằng\[{a^m} + {b^m} < {c^m}\] , nếu 0 < m < 1
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có: \[{a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow{[\frac{a}{c}]^m} + {[\frac{b}{c}]^m} < 1\] [1]
Theo đề bài a + b = c, a > 0, b > 0 nên \[0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1\].
Suy ra với m > 1 thì \[{[\frac{a}{c}]^m} < {[\frac{a}{c}]^1};{[\frac{b}{c}]^m} < {[\frac{b}{c}]^1}\]
Từ đó ta có: \[{[\frac{a}{c}]^m} + {[\frac{b}{c}]^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1\]
Vậy [1] đúng và ta có điều phải chứng minh.
b] Chứng minh tương tự.