Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\[ - i\];\[4i\];\[ - 4\];\[1 + 4\sqrt 3 i\].
Giải
* Giả sử \[z=x+yi\] là căn bậc hai của \[-i\], ta có:
\[{\left[ {x + yi} \right]^2} = - i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - i\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr 2xy = - 1\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right.\]
Từ [2] suy ra \[y = - {1 \over {2x}}\] thế vào [1] ta được:
\[{x^2} - {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\]
+] Với \[x = {1 \over {\sqrt 2 }}\]ta có \[y = - {1 \over {2x}} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\]
+] Với \[x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\]ta có \[y = - {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\]
Hệ có hai nghiệm là: \[\left[ { - {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right],\left[ {{1 \over {\sqrt 2 }}, - {1 \over {\sqrt 2 }}} \right]\]
Vậy \[i\] có hai căn bậc hai là: \[{z_1} = - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\],\[{z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i\]
* Giả sử\[z=x+yi\] là căn bậc hai của \[4i\], ta có:
\[{\left[ {x + yi} \right]^2} = 4i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right.\]
Thay \[y = {2 \over x}\]vào phương trình thứ nhất ta được:
\[{x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \]
+] Với \[x = \sqrt 2 \] ta có \[y = {2 \over x} = \sqrt 2 \];
+] Với \[x = - \sqrt 2 \] ta có \[y = - \sqrt 2 \]
Hệ có hai nghiệm \[\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\],\[\left[ { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right]\]
Vậy \[4i\] có hai căn bậc hai là:\[{z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\]; \[{z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i\]
* Ta có \[ - 4 = 4{i^2} = {\left[ {2i} \right]^2}\] do đó \[-4\] có hai căn bậc hai là \[ \pm 2i\]
* Giả sử\[z=x+yi\] là căn bậc hai của\[1 + 4\sqrt 3 i\].
\[{\left[ {x + yi} \right]^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr \,2xy = 4\sqrt 3 \, \hfill \cr} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} - {{12} \over {{x^2}}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\]hoặc \[\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\]
Hệ có hai nghiệm \[\left[ {2;\sqrt 3 } \right],\left[ { - 2; - \sqrt 3 } \right]\]
Vậy \[1 + 4\sqrt 3 i\] có hai căn bậc hai là:\[{z_1} = 2 + \sqrt 3 i\],\[{z_2} = - 2 - \sqrt 3 i\]
Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu \[z\] là một căn bậc hai của số phức \[{\rm{w}}\] thì \[\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \].
Giải
Giả sử \[z=x+yi\] và \[\rm{w}=a+bi\]
\[z\] là một căn bậc hai của số phức w thì \[{z^2} = {\rm{w}}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {x + yi} \right]^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]^2} = {a^2} \hfill \cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \]
\[ \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}} = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \]
Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:
a] \[{z^2} = z + 1\];
b] \[{z^2} + 2z + 5 = 0\]
c] \[{z^2} + \left[ {1 - 3i} \right]z - 2\left[ {1 + i} \right] = 0\].
Giải
a] Ta có \[{z^2} = z + 1 \Leftrightarrow {z^2} - z = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + {1 \over 4} = {5 \over 4}\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {z - {1 \over 2}} \right]^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow z - {1 \over 2} = \pm {{\sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}\]
b] \[{z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {z + 1} \right]^2} = - 4 = {\left[ {2i} \right]^2} \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 1 = 2i \hfill \cr z + 1 = - 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = - 1 + 2i \hfill \cr z = - 1 - 2i \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left\{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} \right\}\]
c] \[{z^2} + \left[ {1 - 3i} \right]z - 2\left[ {1 + i} \right] = 0\]có biệt thức
\[\Delta = {\left[ {1 - 3i} \right]^2} + 8\left[ {1 + i} \right] = 1 - 9 - 6i + 8 + 8i \]
\[= 2i = {\left[ {1 + i} \right]^2}\]
Do đó phương trình có hai nghiệm là: \[{z_1} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i + \left[ {1 + i} \right]} \right] = 2i\]
\[{z_2} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i - \left[ {1 + i} \right]} \right] = - 1 + i\]
Vậy \[S = \left\{ {2i; - 1 + i} \right\}\]