Bài 18 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai mặt phẳng có phương trình là
\[2x - my + 3z - 6 + m = 0\] và \[\left[ {m + 3} \right]x - 2y + \left[ {5m + 1} \right]z - 10 = 0\]
Với giá trị nào của m thì:
a] Hai mặt phẳng đó song song ;
b] Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;
c] Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;
d] Hai mặt phẳng đó vuông góc?
Giải
Mặt phẳng \[2x - my + 3z - 6 + m = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {2; - m;3} \right]\].
Mặt phẳng \[\left[ {m + 3} \right]x - 2y + \left[ {5m + 1} \right]z - 10 = 0\]có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {m + 3; - 2;5m + 1} \right]\].
Ta có
\[\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5{m^2} - m + 6 = 0 \hfill \cr
- 7m + 7 = 0 \hfill \cr
{m^2} + 3m - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1\]
Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình \[2x - y + 3z - 5 = 0\] và \[4x - 2y + 6z - 10 = 0\] nên chúng trùng nhau. Vậy:
a] Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song.
b] Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
c] Với \[m \ne 1\] thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
d] Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi
\[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2\left[ {m + 3} \right] + 2m + 3\left[ {5m + 1} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 19m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = {{ - 9} \over {19}}\]
Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]và \[\left[ {\alpha '} \right]\]trong mỗi trường hợp sau:
\[\eqalign{
& a]\,\,\left[ \alpha \right]:2x - y + 4z + 5 = 0,\cr&\left[ {\alpha '} \right]:3x + 5y - z - 1 = 0 \cr
& b]\,\,\left[ \alpha \right]:2x + y - 2z - 1 = 0,\cr&\left[ {\alpha '} \right]:6x - 3y + 2z - 2 = 0 \cr
& c]\,\,\left[ \alpha \right]:x + 2y + z - 1 = 0,\cr&\left[ {\alpha '} \right]:x + 2y + z + 5 = 0 \cr} \]
Giải
a] Điểm \[M\left[ {x,y,z} \right]\] cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& {{\left| {2x - y + 4z + 5} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{\left| {3x + 5y - z - 1} \right|} \over {\sqrt {9 + 25 + 1} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {2x - y + 4z + 5} \right| = \sqrt 3 \left| {3x + 5y - z - 1} \right| \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left[ {2x - y + 4z + 5} \right] = \pm \sqrt 3 \left[ {3x + 5y - z - 1} \right] \cr} \]
Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng:
\[\eqalign{
& \left[ {2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 } \right]x - \left[ {\sqrt 5 + 5\sqrt 3 } \right]y + \left[ {4\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right]z \cr&+ 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0 \cr
& \left[ {2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 } \right]x - \left[ {\sqrt 5 - 5\sqrt 3 } \right]y + \left[ {4\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right]z\cr& + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \cr} \]
b] Điểm \[M\left[ {x,y,z} \right]\]cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& {{\left| {2x + y - 2z - 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\left| {6x - 3y + 2z - 2} \right|} \over {\sqrt {36 + 9 + 4} }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7\left[ {2x + y - 2z - 1} \right] = 3\left[ {6x - 3y + 2z - 2} \right] \hfill \cr
7\left[ {2x + y - 2z - 1} \right] = - 3\left[ {6x - 3y + 2z - 2} \right] \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 4x + 16y - 20z - 1 = 0 \hfill \cr
32x - 2y - 8z - 13 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:
\[ - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\,\,;32x - 2y - 8z - 13 = 0\].
c] Điểm \[M\left[ {x,y,z} \right]\]cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& {{\left| {x + 2y + z - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{\left| {x + 2y + z + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5 \hfill \cr
x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \cr} \]
Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : \[x + 2y + z + 2 = 0\].
Bài 20 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng
\[Ax + By + Cz + D = 0\] và \[Ax + By + Cz + D' = 0\]với \[D \ne D'\].
Giải
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.
Lấy \[M\left[ {{x_0},{y_0},{z_0}} \right]\]thuộc mặt phẳng \[Ax + By + Cz + D = 0\].
Ta có \[A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0 \]
\[\Rightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = - D\]
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng thứ hai, ta có:
\[d = {{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D'} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {D' - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]