Bài 2.16 trang 63 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a] \[\widehat {BAC} = {90^0}\]
b] \[\widehat {BAC} = {60^0}\]và b = c
c] \[\widehat {BAC} = {120^0}\]và b = c
Hướng dẫn làm bài:
a]
\[\widehat {BAC} = {90^0}\]. Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC
Và \[{r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {[{a \over 2}]^2} + {[{b \over 2}]^2} + {[{c \over 2}]^2}\]
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \[r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
b] Hình 2.37
\[\widehat {BAC} = {60^0}\] và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC và r2= OA2= OI2+ IA2
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có
\[{r^2} = {[{a \over 2}]^2} + {[{2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2}]^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}\]. Vậy \[r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}} \]
c] Hình 2.38
\[\widehat {BAC} = {120^0}\] và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.
Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có: OS = OA = OB = OC và\[{r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {[{a \over 2}]^2} + {b^2}\]
Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính\[r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}} \]
Bài 2.17 trang 64 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \[[\alpha ]\]là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h
[0 < h < r] và cắt mặt cầu theo đường tròn [C] . Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên [C] và vuông góc với mặt phẳng\[[\alpha ]\] cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của [C]
a] Chứng minh các tổng AD2+ BC2 và AC2+ BD2 có giá trị không đổi.
b] Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?
c] Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn [C].
Hướng dẫn làm bài:
a] Tam giác ADC vuông tại A nên AD2= DC2 AC2 [1]
Tam giác ABC vuông tại A nên BC2= AC2+ AB2 [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra AD2+ BC2= DC2+ AB2 [3]
Ta lại có:
AC2= DC2 AD2 và BD2= AD2+ AB2 [4]
DC2= 4[r2 h2] , AB2= 4h2 [5]
Từ [4] và [5] ta có:
AC2+ BD2=DC2+ AB2= 4[r2 h2] + 4h2= 4r2 [6]
Từ [3] và [6] ta có: AD2+ BC2= AC2+ BD2 [không đổi]
b] Diện tích tam giác BCD bằng \[{S_{\Delta BCD}} = {1 \over 2}BH.DC\]
Diện tích này lớn nhất khi AI // CD.
c] Ta có\[AH \bot DC\]. Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông. Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng\[[\alpha ]\].
Bài 2.18 trang 64 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng\[a\sqrt 2 \]. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.
a] Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.
b] Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.
Hướng dẫn làm bài
a] Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B1, tiếp xúc với cạnh SC tại C1. Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm C2, B2. Mặt phẳng [SAB] cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B1và đi qua A và C2.
Do đó, ta có: BB12= BA. BC2 trong đó \[B{B_1} = {{SB} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]. Do đó,\[B{B_1}^2 = {{{a^2}} \over 2}\]
Vậy \[{{{a^2}} \over 2} = a.B{C_2} \RightarrowB{C_2} = {{{a^2}} \over 2}:a = {a \over 2}\]
Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm C2của đoạn AB. Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm B2của AC.
b] Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:
\[S{\rm{D}}{\rm{.SA = SB}}_1^2\] hay \[SD.a\sqrt 2 = {[{{a\sqrt 2 } \over 2}]^2} = {{{a^2}} \over 2}\]
Do đó, \[SD = {{{a^2}} \over 2}:a\sqrt 2 = {{a\sqrt 2 } \over 4}\]và \[AD = SA - SD = {{3a\sqrt 2 } \over 4}\]
Bài 2.19 trang 64 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.
Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS ; CQ = CR = CN ; DR = DS = DP
Vậy AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS
= AN + NC + BS + SD = AC + BD
Bằng lí luận tương tự ta chứng minh được AB + CD = AC + BD = AD + BC