Câu III.1* trang 18 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Giải các phương trình sau:
a. \[{{13} \over {\left[ {2x + 7} \right]\left[ {x - 3} \right]}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\]
b. \[{\left[ {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right]^3} + 6{\left[ {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right]^2} = {{12\left[ {2x - 1} \right]} \over {x + 1}} - 20\]
Giải:
a. ĐKXĐ: \[x \ne - {7 \over 2}\]và \[x \ne \pm 3\]. Mẫu chung là \[\left[ {2x + 7} \right]\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]\]
Khử mẫu ta được:
\[\eqalign{ & 13\left[ {x + 3} \right] + \left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right] = 6\left[ {2x + 7} \right] \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left[ {x + 4} \right] - 3\left[ {x + 4} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 4} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x = - 4\] hoặc \[x = 3\]
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có x = -4 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = -4.
b. Đặt y \[ = 1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}\], ta có:
\[{{12\left[ {2x - 1} \right]} \over {x + 1}} - 20 = - 12\left[ {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right] - 8 = - 12y - 8\]
Do đó phương trình đã cho có dạng \[{y^3} + 6{y^2} = - 12y - 8\] . Giải phương trình này:
\[\eqalign{ & {y^3} + 6{y^2} = - 12y - 8 \cr & \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} + {2^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left[ {y + 2} \right]^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow y = - 2 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình
\[1 - {{2x - 1} \over {x + 1}} = - 2\] hay \[{{2x - 1} \over {x + 1}} = 3\]
ĐKXĐ của phương trình là . Giải phương trình này bằng cách khử mẫu, ta được:
\[\eqalign{ & 2x - 1 = 3\left[ {x + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow x = - 4 \cr} \]
Giá trị x = -4 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu III.2 trang 18 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
a. Cho ba số a, b và c đôi một phân biệt. Giải phương trình
\[{x \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - c} \right]}} + {x \over {\left[ {b - a} \right]\left[ {b - c} \right]}} + {x \over {\left[ {c - a} \right]\left[ {c - b} \right]}} = 2\]
b. Cho số a và ba số b, c, d khác a và thỏa mãn điều kiện c + d = 2b. Giải phương trình
\[{x \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - c} \right]}} - {{2x} \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - d} \right]}} + {{3x} \over {\left[ {a - c} \right]\left[ {a - d} \right]}} = {{4a} \over {\left[ {a - c} \right]\left[ {a - d} \right]}}\]
Giải:
a. \[{x \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - c} \right]}} + {x \over {\left[ {b - a} \right]\left[ {b - c} \right]}} + {x \over {\left[ {c - a} \right]\left[ {c - b} \right]}} = 2\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left[ {c - b} \right] + x\left[ {a - c} \right] + x\left[ {b - a} \right]} \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {b - c} \right]\left[ {c - a} \right]}} = 2 \cr & \Leftrightarrow 0x = 2\left[ {a - b} \right]\left[ {b - c} \right]\left[ {c - a} \right] \cr} \]
Do a, b, c đôi một khác nhau nên . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b. \[{x \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - c} \right]}} - {{2x} \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - d} \right]}} + {{3x} \over {\left[ {a - c} \right]\left[ {a - d} \right]}} = {{4a} \over {\left[ {a - c} \right]\left[ {a - d} \right]}}\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left[ {a - d} \right] - 2x\left[ {a - c} \right] + 3x\left[ {a - b} \right]} \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - c} \right]\left[ {a - d} \right]}} = {{4a\left[ {a - b} \right]} \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {a - c} \right]\left[ {a - d} \right]}} \cr & \Leftrightarrow x\left[ {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right] = 4a\left[ {a - b} \right] \cr & \Leftrightarrow x\left[ {2a - 3b + 2c - d} \right] = 4a\left[ {a - b} \right] \cr & \Leftrightarrow x\left[ {2a - 3b + 2c - d} \right] = 4a\left[ {a - b} \right] \cr} \]
Theo giả thiết, b + d = 2c nên 2a 3b + 2c d = 2a 2b = 2 [a b ]. Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
\[2\left[ {a - b} \right]x = 4a\left[ {a - b} \right]\]
Để ý rằng a b 0, ta thấy ngay phương trình cuối có nghiệm duy nhất x = 2a. Vậy phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất x =2a.
Câu III.3 trang 18 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cần phải thêm vào tử và mẫu của phân số \[{{13} \over {18}}\] với cùng một số tự nhiên nào để được phân số \[{4 \over 5}\]?
Giải:
Gọi x là số tự nhiên cần thêm vào cả tử và mẫu của phân số \[{{13} \over {18}}\] để được phân số \[{4 \over 5}\] , ta có phương trình
\[{{13 + x} \over {18 + x}} = {4 \over 5}\]
Giải phương trình trên chú ý rằng x > 0, ta được x = 7
Vậy số tự nhiên cần tìm là 7.
Câu III.4 trang 18 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cách đây 10 năm, tuổi của người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai. Sau đây 2 năm, tuổi của người thứ hai bằng nửa tuổi của người thứ nhất. Hỏi hiện nay, tuổi của mỗi người là bao nhiêu ?
Giải:
Gọi tuổi hiện nay của người thứ nhất là x [x nguyên dương]. Ta có thể lập bảng:
Tuổi của người thứ nhất
Tuổi của người thứ hai
Cách đây 10 năm
\[3\left[ {x - 10} \right]\]
\[x - 10\]
Hiện nay
\[3\left[ {x - 10} \right] + 10 = 2\left[ {x + 2} \right] - 2\]
\[x\]
Sau đây 2 năm
\[2\left[ {x + 2} \right]\]
\[x + 2\]
Từ đó ta có phương trình \[3\left[ {x - 10} \right] + 10 = 2\left[ {x + 2} \right] - 2\]
Giải phương trình này ta được x = 22, thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy tuổi hiện nay của người thứ hai là 22 và của người thứ nhất là
\[2\left[ {x + 2} \right] - 2 = 46\]