Câu 22 trang 10 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a] \[\left[ {{d_1}} \right]:5x - 2y = c\]và \[\left[ {{d_2}} \right]:x + by = 2,\]biết rằng [d1] đi qua điểm A [5; -1] và [d2] đi qua điểm B[-7; 3];
b] \[\left[ {{d_1}} \right]:ax + 2y = - 3\]và \[\left[ {{d_2}} \right]:3x - by = 5,\]biết rằng [d1] đi qua điểm M[3; 9] và [d2] đi qua điểm N[-1; 2]
Giải
a] [d1] \[5x - 2y = c\]đi qua điểm A[5; -1] nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\[5.5 - 2.\left[ { - 1} \right] = c \Rightarrow c = 27\]
Phương trình đường thẳng [d1]:\[5x - 2y = 27\]
\[\left[ {{d_2}} \right]:x + by = 2\]đi qua điểm B[ -7; 3] nên tọa độ của B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\[- 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\]
Phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_2}} \right]:x + 3y = 2\]
Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 27} \cr
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{5\left[ {2 - 3y} \right] - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{10 - 15y - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{ - 17y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \]
Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là [5; -1]
b] \[\left[ {{d_1}} \right]:ax + 2y = 3\]đi qua điểm M [3; 9] nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng:\[a.3 + 2.9 = - 3 \Leftrightarrow 3a = - 21 \Leftrightarrow a = - 7\]
Phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_1}} \right]: - 7x + 2y = - 3\]
\[\left[ {{d_2}} \right]:3x - by = 5\]đi qua điểm N [-1; 2] nên tọa độ của N nghiệm đúng phương trình đường thẳng:\[3\left[ { - 1} \right] - b.2 = 5 \Leftrightarrow - 2b = 8 \Leftrightarrow b = - 4\]
Phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_2}} \right]:3x + 4y = 5\]
Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7x + 2y = - 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x - 3} \over 2}} \cr
{3x + 4.{{7x - 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x - 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x - 3} \over 2}} \cr
{x = {{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{11} \over {17}}} \cr
{y = {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \]
Tọa độ của điểm [d1] và [d2] là\[\left[ {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right]\].
Câu 23 trang 10 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình:
\[a]\left\{ {\matrix{
{\left[ {x - 3} \right]\left[ {2y + 5} \right] = \left[ {2x + 7} \right]\left[ {y - 1} \right]} \cr
{\left[ {4x + 1} \right]\left[ {3y - 6} \right] = \left[ {6x - 1} \right]\left[ {2y + 3} \right]} \cr} } \right.\]
\[b]\left\{ {\matrix{
{\left[ {x + y} \right]\left[ {x - 1} \right] = \left[ {x - y} \right]\left[ {x + 1} \right] + 2xy} \cr
{\left[ {y - x} \right]\left[ {y + 1} \right] = \left[ {y + x} \right]\left[ {y - 2} \right] - 2xy} \cr} } \right.\]
Giải
a]
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left[ {x - 3} \right]\left[ {2y + 5} \right] = \left[ {2x + 7} \right]\left[ {y - 1} \right]} \cr
{\left[ {4x + 1} \right]\left[ {3y - 6} \right] = \left[ {6x - 1} \right]\left[ {2y + 3} \right]} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2xy + 5y - 6y - 15 = 2xy - 2x + 7y - 7} \cr
{12xy - 24x + 3y - 6 = 12xy + 18x - 2y - 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x - 13y = 8} \cr
{ - 42x + 5y = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{7x - 13.{{42x + 3} \over 5} = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{35x - 546x - 39 = 40} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{ - 511x = 79} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{x = - {{79} \over {511}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{51} \over {73}}} \cr
{x = - {{79} \over {511}}} \cr} } \right. \cr} \]
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ phương trình có nghiệm\[\left[ {x;y} \right] = \left[ { - {{79} \over {511}}; - {{51} \over {73}}} \right]\]
b]
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left[ {x + y} \right]\left[ {x - 1} \right] = \left[ {x - y} \right]\left[ {x + 1} \right] + 2xy} \cr
{\left[ {y - x} \right]\left[ {y + 1} \right] = \left[ {y + x} \right]\left[ {y - 2} \right] - 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x^2} - x + xy - y = {x^2} + x - xy - y + 2xy} \cr
{{y^2} + y - xy - x = {y^2} - 2y + xy - 2x - 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ - x - y = x - y} \cr
{y - x = - 2x - 2y} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 0} \cr
{x + 3y = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{3y = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{y = 0} \cr} } \right. \cr} \]
Hệ phương trình có nghiệm\[\left[ {x;y} \right] = \left[ {0;0} \right]\].
Câu 24 trang 10 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a]
\[\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\]
b]
\[\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\]
c]
\[\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.\]
d]
\[\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.\]
e]
\[\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.\]
Giải
a] Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\]điều kiện \[x \ne 0;y \ne 0.\]Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {4 \over 5}} \cr
{a - b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b + {1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{2b = {3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 2}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr} } \right. \cr} \]
Suy ra:
\[\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = {{10} \over 3}} \cr} } \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2;{{10} \over 3}} \right]\]
b] Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\]điều kiện \[x \ne 0;y \ne 0\]ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a - 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{4a + 9.{{15a - 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{28a + 135a - 81 = 245} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{163a = 326} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \]
Suy ra:
\[\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 2} \cr
{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {1 \over 2}} \cr
{y = {1 \over 3}} \cr} } \right.\]
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: [x; y] = \[\left[ {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right]\]
c] Đặt \[{1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x - y}} = b.\]Điều kiện \[x \ne \pm y\]. Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {5 \over 8}} \cr
{a - b = - {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - {3 \over 8}} \cr
{b - {3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - {3 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr
{{1 \over {x - y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr
{x - y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \]
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: [x; y] = [5; 3].
d] Đặt \[{1 \over {2x - 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b.\]Điều kiện \[x \ne {3 \over 2}y;x \ne - {1 \over 3}y.\]Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = - 2} \cr
{3b - 5a = 21} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{4a + 5.{{5a + 21} \over 3} = - 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{12a + 25a + 105 = - 6} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{37a = - 111} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{a = - 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr
{a = - 3} \cr} } \right. \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {2x - 3y}} = - 3} \cr
{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - 3y = - {1 \over 3}} \cr
{3x + y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{2x - 3\left[ {{1 \over 2} - 3x} \right] = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{2x + 9x = - {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{11x = {7 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - {7 \over {22}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {2 \over {11}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr} \]
Hai giá trị \[x = {7 \over {66}};y = {2 \over {11}}\]thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: [x; y] =\[\left[ {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right]\]
e] Đặt \[{1 \over {x - y + 2}} = a;{1 \over {x + y - 1}} = b.\]Điều kiện\[x - y + 2 \ne 0;x + y - 1 \ne 0.\]
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a - 5b = 4,5} \cr
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{7a - 5.{{4 - 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{14a - 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{29a = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x - y + 2}} = 1} \cr
{{1 \over {x + y - 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x - y + 2 = 1} \cr
{x + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr
{y - 1 + y - 1 = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr
{2y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \cr} \]
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: [x; y] = [1; 2].