Bài 24 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1
Cho đường tròn [O], dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
a] Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tòn.
b] Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC.
Giải:
a] Gọi H là giao điểm của OC và AB.
Vì\[OH\perp AB\] nên \[HA=HB\], suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó \[CB=CA.\]
\[\Delta CBO=\Delta CAO\][c.c.c]
\[\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}\].
Vì AC là tiếp tuyến của đường trong [O] nên:
\[AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}\].
Do đó\[\widehat{CBO}=90^{\circ}\].
Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn [O].
b] Xét tam giác HOA vuông tại H, có
\[OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}\]
\[=15^{2}-12^{2}=81\]
\[\Rightarrow OH=9[cm]\]
Xét tam giác BOC vuông tại B, có:
\[OB^{2}=OC\cdot OH\]
\[\Rightarrow OC=\frac{OB^{2}}{OH}=\frac{225}{9}=25[cm].\]
Nhận xét. Ở câu a] ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn [O]. Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.
Bài 25 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1
Cho đường tròn tâm O có bán kính OA=R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a] Từ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b] Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Hướng dẫn giải:
a] Ta có\[OA\perp BC\Rightarrow MB=MC\].
Mặt khác:
\[MA=MO\] nên tứ giác ABOC là hình bình hành.
Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
b] Ta có \[BA=BO\] [hai cạnh hình thoi] mà \[BO=OA\] [bán kính] nên tam giác ABO là tam giác đều.
Suy ra\[\widehat{BOA}=60^{\circ}\].
Ta có EB là tiếp tuyến\[\Rightarrow EB\perp OB\].
Xét tam giác BOE vuông tại B, có:
\[BE=BO\cdot tg60^{\circ}= R.tg60^0=R\sqrt{3}.\]