Bài 2.55 trang 104 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho hình bình hành ABCD cóAB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng \[{120^0}\]
a] Tìm các tích vô hướng sau: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD,} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \]
b] Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos\widehat {DAB} \cr
& = 3a.5a.\cos {120^0} = - {{15{a^2}} \over 2} \cr} \]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = [\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} ][\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ] \cr
& = A{D^2} - A{B^2} = 16{a^2} \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& {\overrightarrow {BD} ^2} = {[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ]^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \cr
& = 49{a^2} = > BD = 7a \cr} \]
ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;
\[\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0} = > \widehat {ABC} = {60^0}\]
Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:
\[\eqalign{
& A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC.AB.\cos \widehat {ABC} \cr
& = 19{a^2} = > AC = a\sqrt {19} \cr} \]
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:
\[R = {{AC} \over {2\sin \widehat {ABC}}} = {{a\sqrt {19} } \over {2\sin {{60}^0}}} = a{{\sqrt {57} } \over 3}\]
Bài 2.56 trang 104 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vớiA[ - 5;6], B[ - 4; - 1], C[4;3]
a] Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;
b] Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\] ngắn nhất
Gợi ý làm bài
a] Gọi H[x; y]. Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = [x + 5;y - 6] \cr
& \overrightarrow {CH} = [x - 4;y - 3] \cr} \]
Và
\[\eqalign{
& \overrightarrow {BC} = [8;4] \cr
& \overrightarrow {AB} = [1; - 7] \cr} \]
H là trực tâm giác ABC
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
8[x + 5] + 4[y - 6] = 0 \hfill \cr
[x - 4] - 7[x - 3] = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy H[-3;2]
b] Vì M thuộc trục Oy nên M[O;y].
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là\[\left[ { - {5 \over 3};{8 \over 3}} \right]\] và\[d = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\]
d đạt giá trị nhỏ nhất\[ \Leftrightarrow MG \bot Oy \Leftrightarrow y = {y_G} \Leftrightarrow y = {8 \over 3}\]
Vậy\[M[0;{8 \over 3}]\]
Bài 2.57 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vớiA[2;4]; B[3;1]; C[ - 1;1]
a] Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b] Chứng minh H, G, I thẳng hàng.
Gợi ý làm bài
A[2;4], B[3;1], C[ - 1;1]
a] Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
\[\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {4 \over 3} \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = 2 \hfill \cr} \right.\]
Vậy\[G\left[ {{4 \over 3};2} \right]\]
*Goi H[x; y], ta có:
\[\overrightarrow {AB} = [1; - 3];\overrightarrow {BC} = [ - 4;0]\]
\[\overrightarrow {CH} = [x + 1;y - 1];\overrightarrow {AH} = [x - 2;y - 4]\]
H là trực tâm tam giác ABC
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
AH \bot BC \hfill \cr
CH \bot AB \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 4[x - 2] = 0 \hfill \cr
[x + 1] - 3[y - 1] = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right.\]
*Gọi I[x; y], I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC\[ \Leftrightarrow IA = IB = IC\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} = {[x - 3]^2} + {[y - 1]^2} \hfill \cr
{[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} = {[x + 1]^2} + {[y - 1]^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy: I[1; 2]
b] Ta có:\[\overrightarrow {IA} = [1;0],\overrightarrow {IG} = \left[ {{1 \over 3};0} \right]\]
=>\[\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \] cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.
Bài 2.58 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.
a] Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;
b] Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng:\[\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \]
Gợi ý làm bài
a] Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:
\[O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} - 2OB.BE.\cos \widehat {OBE}\]
\[\eqalign{
& O{E^2} = {\left[ {{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} + {a^2} - 2{{3a\sqrt 2 } \over 2}.a.\cos {45^0} = {{5{a^2}} \over 2} \cr
& = > OE = {{a\sqrt {10} } \over 2} \cr} \]
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:
\[\eqalign{
& {R_{[\Delta OBE]}} = {{OE} \over {2\sin \widehat {OBE}}} = {{{{a\sqrt {10} } \over 2}} \over {2\sin {{45}^0}}} \cr
& = {{{{a\sqrt {10} } \over 2}} \over {2{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr} \]
b]\[\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} = [\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} ][\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} ]\]
\[ = \left[ {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right]\left[ {\overrightarrow {GO} - \overrightarrow {OA} } \right] = {\overrightarrow {GO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}\]
\[ = {\left[ {{1 \over 3}.{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} - {\left[ {{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} = - 4{a^2}\]