Bài 2.55 trang 134 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Giải các bất phương trình mũ sau:
a] \[{[8,4]^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\]
b] \[{2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\]
c] \[\frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\]
d] \[\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[8,{4^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0}\Leftrightarrow\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0\Leftrightarrowx < 3\]
b]
\[\eqalign{
& {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}} \Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1| \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4[{x^2} + 2x + 1] \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 \cr
& \Leftrightarrow - 4 < x < 0 \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}} \cr
& \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {{t^2} + 2t - 8 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {\left[ {\matrix{{t < - 4} \cr {t > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x}} \cr {t > 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1 \cr} \]
d] Đặt t = 3x [t > 0] , ta có bất phương trình\[\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}}\]
Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là \[3t 1 > 0\].
Từ đó ta có hệ:
\[\left\{ {\matrix{{3t - 1 \le t + 5} \cr {3t - 1 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {1 \over 3} < t \le 3\]
Do đó \[\frac{1}{3} < {3^x} \le 3\] . Vậy \[ - 1 < x \le 1\] .
Bài 2.56 trang 134 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Giải các bất phương trình logarit sau:
a] \[\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0\]
b] \[\log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0\]
c] \[\log [{x^2} - x - 2] < 2\log [3 - x]\]
d] \[\ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[\frac{1}{{{e^2}}} < x < e\]
b]\[{[0,2]^3} \le x \le 25\]
c] Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
\[\left\{ {\matrix{{{x^2} - x - 2 > 0} \cr {3 - x > 0} \cr {{x^2} - x - 2 < {{[3 - x]}^2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > 2} \cr} } \right.} \cr {x < 3} \cr {x < {{11} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {2 < x < {{11} \over 5}} \cr} } \right.\]
Vậy tập nghiệm là \[[ - \infty ; - 1] \cup [2;\frac{{11}}{5}]\]
d]
\[\eqalign{& \ln |[x - 2][x + 4]| \le \ln 8 \cr & \Leftrightarrow |{x^2} + 2x - 8| \le 8 \cr & \Leftrightarrow - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x \ge 0} \cr {{x^2} + 2x - 16 \le 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr { - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 2} \cr {0 \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr}\]
Vậy tập nghiệm là\[{\rm{[}} - 1 - \sqrt {17} ; - 2] \cup {\rm{[}}0; - 1 + \sqrt {17} {\rm{]}}\]
Bài 2.57 trang 134 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Giải các bất phương trình sau:
a] \[[2x - 7]\ln [x + 1] > 0\]
b] \[[2x - 7]\ln [x + 1] > 0\]
c] \[2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\]
d] \[\ln [3{e^x} - 2] \le 2x\]
Trả lời:
a] Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
\[\eqalign{& \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{2x - 7 > 0} \cr {\ln [x + 1] > 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{2x - 7 < 0} \cr {\ln [x + 1] < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {x + 1 > 1} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr {0 < x + 1 < 1} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right. \cr}\]
Vậy tập nghiệm là\[[ - 1;0] \cup [\frac{7}{2}; + \infty ]\]
b] Tươngg tự câu a], tập nghiệm là\[[\frac{1}{{10}};5]\]
c] Đặt\[t = {\log _2}x\] , ta có bất phương trình\[2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0\]
hay \[[t + 2][2{t^2} + t - 1] \ge 0\] có nghiệm \[ - 2 \le t \le - 1\] hoặc\[t \ge \frac{1}{2}\]
Suy ra \[\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\] hoặc\[x \ge \sqrt 2 \]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:\[{\rm{[}}\frac{1}{4};\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty ]\]
d] Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3{e^x} - 2 > 0} \cr {\ln [3{e^x} - 2] \le \ln {e^{2x}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {{e^{2x}} - 3{e^x} + 2 \ge 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {\left[ {\matrix{{{e^x} \le 1} \cr {{e^x} \ge 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{e^x} \ge 2} \cr {{2 \over 3} < {e^x} \le 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge \ln 2} \cr {\ln {2 \over 3} < x \le 0} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy tập nghiệm là\[[\ln \frac{2}{3};0] \cup {\rm{[}}\ln 2; + \infty ]\]
Bài 2.58 trang 134 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho:
a] \[{[\frac{1}{2}]^n} \le {10^{ - 9}}\]
b] \[3 - {[\frac{7}{5}]^n} \le 0\]
c] \[1 - {[\frac{4}{5}]^n} \ge 0,97\]
d] \[{[1 + \frac{5}{{100}}]^n} \ge 2\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[n \ge {\log _{\frac{1}{2}}}{10^{ - 9}} \Leftrightarrown \ge 9{\log _2}10 \approx 29,897\]
Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 30.
b] n = 4
c] n = 16
d] n = 15