Bài 26 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x=0\] và \[x = {{7\pi } \over 6}\]
Giải
Vì \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1 \ge 0\] với mọi \[x\] nên
\[S = \int\limits_0^{{{7\pi } \over 6}} {\left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1} \right]} dx = \left. {\left[ { - \cos x + x} \right]} \right|_0^{{{7\pi } \over 6}}\]
\[= {{7\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2} + 1\]
Bài 27 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a] Đồ thị hàm số \[y = {\cos ^2}x,\] trục hoành, trục tung và đường thẳng \[x = \pi ;\]
b] Đồ thị hai hàm số \[y = \sqrt x \] và \[y = \root 3 \of x ;\]
c] Đồ thị hàm số \[y = 2{x^2}\] và \[y = {x^4} - 2{x^2}\] trong miền \[x \ge 0.\]
Giải
a] \[S = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx = {1 \over 2}} \int\limits_0^\pi {\left[ {1 + \cos 2x} \right]} dx\]
\[= \left. {{1 \over 2}\left[ {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right]} \right|_0^\pi = {\pi \over 2}\]
b] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \[\sqrt x = \root 3 \of x \Leftrightarrow x = 0;x = 1\]
Trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\] thì \[\root 3 \of x \ge \sqrt x \]nên:
\[S = \int\limits_0^1 {\left[ {\root 3 \of x - \sqrt x } \right]} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {{x^{{1 \over 3}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right]} dx\]
\[= \left. {\left[ {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right]} \right|_0^1 = {3 \over 4} - {2 \over 3} = {1 \over {12}}\]
c] Trong miền \[x \ge 0\]hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^4} - 2{x^2} = 2{x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^2}\left[ {{x^2} - 4} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 2{x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}\left[ {{x^2} - 4} \right]} \right|} dx \]
\[= \int\limits_0^2 {\left[ {4{x^2} - {x^4}} \right]} dx\]
\[ = \left. {\left[ {4{{{x^3}} \over 3} - {{{x^5}} \over 5}} \right]} \right|_0^2 = {{64} \over {15}}\]
Bài 28 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a] Đồ thị các hàm số \[y = {x^2} - 4\], \[y = - {x^2} - 2x\] và đường thẳng \[x = - 3,x = - 2;\]
b] Đồ thị hai hàm số \[y = {x^2}\] và \[y = - {x^2} - 2x\]
c] Đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 4x\], trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4
Giải
a] Ta có
\[S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {{x^2} - 4 - \left[ { - {x^2} - 2x} \right]} \right|} dx \]
\[= \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left[ {2{x^2} + 2x - 4} \right]} dx\]
\[ = 2\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left[ {{x^2} + x - 2} \right]} dx\] vì \[[{x^2} + x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2\] hoặc \[x \ge 1]\]
\[ = 2\left. {\left[ {{{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x} \right]} \right|_{ - 3}^{ - 2} = {{11} \over 3}\]
b]Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} - 4 = - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.\]
Do đó \[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - 4 - \left[ { - {x^2} - 2x} \right]} \right|} dx \]
\[= \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|} dx\]
\[ = - \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {2{x^2} + 2x - 4} \right]} dx\] [ vì \[- 2 \le x \le 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 \le 0\]]
\[ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - 2{x^2} - 2x + 4} \right]} dx \]
\[= \left. {\left[ { - {{2{x^3}} \over 3} - {x^2} + 4x} \right]} \right|_{ - 2}^1 = 9\]
c] \[S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx \]
\[= \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]} dx - \int\limits_0^2 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]} dx \]
\[+ \int\limits_2^4 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]} dx = 44\]