Bài 27 trang 205 SGK giải tích 12 nâng cao
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \[\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left[ {k \in \mathbb R^*} \right]\]trong mỗi trường hợp sau:
\[a]\,z = r\left[ {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right]\,\left[ {r > 0} \right];\]
\[b]\,z = 1 + \sqrt 3 i.\]
Giải
\[\eqalign{ & a]\,\overline z = r\left[ {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right] \cr&= r\left[ {\cos \left[ { - \varphi } \right] + i\sin \left[ { - \varphi } \right]} \right] \cr & - z = - r\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right] \cr&= r\left[ {\cos \left[ {\pi + \varphi } \right] + i\sin \left[ {\pi + \varphi } \right]} \right] \cr & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right] \cr & k.z = kr\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right]\,\,\text{nếu}\,k > 0 \cr & kz = - kr\left[ {\cos \left[ {\pi + \varphi } \right] + i\sin \left[ {\pi + \varphi } \right]} \right]\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \]
\[b]\,z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left[ {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right]\]
\[= 2\left[ {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right]\]
Áp dụng câu a] ta có: \[\overline z = 2\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 3}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 3}} \right]} \right]\]
\[ - z = 2\left[ {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right];\]
\[{1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left[ {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right]\]
\[\eqalign{ & kz = 2k\left[ {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right]\,\,\text{nếu}\,\,k > 0 \cr & kz = - 2k\left[ {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right]\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \]
Bài 28 trang 205SGK giải tích 12 nâng cao
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
\[\eqalign{
& a]\,\,1 - i\sqrt 3 ;\,\,1 + i;\,\,[1 - i\sqrt 3 ][1 + i];\,\,{{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}; \cr
& b]\,\,2i\left[ {\sqrt 3 - i} \right]; \cr
& c]\,\,{1 \over {2 + 2i}}; \cr
& d]\,\,z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,[\varphi \in\mathbb R] \cr} \]
Giải
\[\eqalign{
& a]\,\,1 - i\sqrt 3 = 2\left[ {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right] \cr&= 2\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 3}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 3}} \right]} \right];\,\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,1 + i = \sqrt 2 \left[ {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right] \cr&= \sqrt 2 \left[ {\cos \left[ {{\pi \over 4}} \right] + i\sin \left[ {{\pi \over 4}} \right]} \right];\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,[1 - i\sqrt 3 ][1 + i] \cr&= 2\sqrt 2 \left[ {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right]\left[ {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 3}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 3}} \right]} \right].\cr&\left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left[ {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right] + i\sin \left[ {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right]} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left[ { - {\pi \over {12}}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over {12}}} \right]} \right];\,\, \cr
& {{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}\cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right]} \right] \cr
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left[ { - {7 \over {12}}\pi } \right] + i\sin \left[ { - {7 \over {12}}\pi } \right]} \right]; \cr
& b]\,\,2i = 2\left[ {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\sqrt 3 - i} \right] = 2\left[ {{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i} \right]\cr& = 2\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 6}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 6}} \right]} \right]; \cr
& \,\,\,\,\,\,\,2i\left[ {\sqrt 3 - i} \right] \cr&= 4\left[ {\cos \left[ {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right] + i\sin \left[ {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right]} \right] \cr
&= 4\left[ {\cos \left[ {{\pi \over 3}} \right] + i\sin \left[ {{\pi \over 3}} \right]} \right] \cr
& c]\,\,2 + 2i = 2\sqrt 2 \left[ {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right] \cr&= 2\sqrt 2 \left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right]\, \cr
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 4}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 4}} \right]} \right] \cr
& d]\,z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr&= \,\cos \left[ {{\pi \over 2} - \varphi } \right] + i\sin\left[ {{\pi \over 2} - \varphi } \right][\varphi \in \mathbb R] \cr} \]
Bài 29 trang 206 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \[{\left[ {1 + i} \right]^{19}}\] và công thức Moa-vrơ để tính
\[C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\]
Giải
Theo nhị thức Niu-tơn ta có:
\[{\left[ {1 + i} \right]^{19}} = [C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + ... + C_{19}^{16}{i^2} \]
\[+ C_{19}^{18}{i^2}] + [C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + ... + C_{19}^{19}]\]
Phần thực ở vế phải là: \[C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\]
Mặt khác:
\[\eqalign{
& {\left[ {1 + i} \right]^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right]} \right]^{19}} \cr&= {\left[ {\sqrt 2 } \right]^{19}}\left[ {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right] \cr
& = {\left[ {\sqrt 2 } \right]^{19}}\left[ { - {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right] = - {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} =- {2^9} \cr&= - 512. \cr} \]
Bài 30 trang 206 SGK giải tích 12 nâng cao
Gọi M, M là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \[z = 3 + i;\,z' = \left[ {3 - \sqrt 3 } \right] + \left[ {1 + 3\sqrt 3 } \right]i.\]
a] Tính \[{{z'} \over z};\]
b] Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \[\left[ {OM,OM'} \right]\]. Tính số đo đó.
Giải
\[a]\,{{z'} \over z} = {{\left[ {3 - \sqrt 3 + \left[ {1 + 3\sqrt 3 } \right]i} \right]\left[ {3 - i} \right]} \over {10}} = 1 + \sqrt 3 i\]
b] Xét tia Ox thì ta có: \[sđ\left[ {OM,OM'} \right] = sđ\left[ {Ox,OM'} \right] - sđ\left[ {Ox,OM} \right]\]
\[ = \varphi ' - \varphi = acgumen{{z'} \over z}\][sai khác \[k2\pi \]]
[trong đó \[\varphi \]và \[\varphi '\] theo thứ tự là acgumen của z và z].
Từ đó do \[{{z'} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\]có acgumen là \[{\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\], nên góc lượng giác \[\left[ {OM,OM'} \right]\]có số đo \[{\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right]\]