Bài 3.12 trang 141 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thằng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Giải:
Giả sử \[a\parallel b\] và \[c \bot a\]. Lấy điểm O bất kì trên c, kẻ \[a'\parallel a\]qua Osuy ra \[\widehat {cOa'} = {90^0}\]. Dễ thấy \[a'\parallel b\]nên \[\widehat {cOa'}\]chính là góc giữa hai đường thằng cvà b, do đó \[c \bot b\].
Bài 3.13 trang 141 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau [ hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi]. Chứng minh rằng AC BD
Giải:
Từ giả thiết suy ra tứ giác ABCD là hình thoi, do đó AC BD
Dễ thấy mặt chéo BDDB của hình hộp đã cho là hình bình hành, do đó \[BD\parallel B'D'\]. Từ đó, theo bài 3.12 suy ra AC BD.
Bài 3.14 trang 141 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình hộp thoi ABCD.ABCD có tất cả các cạnh bằng avà \[\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}\]. Chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông.
Giải:
Trước hết dễ thấy tứ giác ABCD là hình bình hành, ngoài ra \[B'C = a = C{\rm{D}}\]nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi ABCD là hình vuông. Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CD} = \left[ {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB'} } \right].\overrightarrow {BA} \cr
& = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA} \cr
& = - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2} = 0 \cr} \]
Vậy tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài 3.15 trang 141 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD trong đó \[AB \bot AC,AB \bot B{\rm{D}}\]. Gọi Pvà Qlần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ABvà PQvuông góc với nhau.
Giải:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {DQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Cộng từng vế [1]và [2]ta có:
\[2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \]
Suy ra \[2\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} .\overrightarrow {AB} = 0\]
Hay \[\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\], tức là \[PQ \bot AB\].