Bài 3.14 trang 178 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Chứng minh rằng: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \].
Hướng dẫn làm bài
Với \[x \in {\rm{[}}0;1]\], ta có \[0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\]. Do đó:
\[0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx} \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}} \]
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.
Bài 3.15 trang 179 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số f[x] cho bởi \[f[x] = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\] là hàm số chẵn.
Hướng dẫn làm bài
Đặt t = - s trong tích phân: \[f[ - x] = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt\], ta được:\[f[ - x] = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f[x]\]
Bài 3.16 trang 179 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Giả sử hàm số f[x] liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
\[\int\limits_{ - a}^a {f[x]dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f[x]dx,[1]} } \cr {0,[2]} \cr} } \right.\]
[1] : nếu f là hàm số chẵn
[2]: nếu f là hàm số lẻ.
Áp dụng để tính: \[\int\limits_{ - 2}^2 {\ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} } ]dx\]
Hướng dẫn làm bài
Giả sử hàm số f[x] là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
\[\int\limits_{ - a}^a {f[x]dx = \int\limits_{ - a}^0 {f[x]dx + \int\limits_0^a {f[x]dx} } } \]
Đổi biến x = - t đối với tích phân \[\int\limits_{ - a}^0 {f[x]dx} \], ta được:
\[\int\limits_{ - a}^0 {f[x]dx = - \int\limits_a^0 {f[ - t]dt = \int\limits_0^a {f[t]dt = \int\limits_0^a {f[x]dx} } } } \]
Vậy \[\int\limits_{ - a}^a {f[x]dx = 2\int\limits_0^a {f[x]dx} } \]
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì \[g[x] = \ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} ]\] là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên \[\int\limits_{ - 2}^2 {g[x]dx = 0}\]