Câu 32 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:
a. \[{{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{21 - x} \over {x + 1}}\]
b. \[{{19x + 8} \over {x - 7}}.{{5x - 9} \over {x + 1945}} - {{19x + 8} \over {x - 7}}.{{4x - 2} \over {x + 1945}}\]
Giải:
a. \[{{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{21 - x} \over {x + 1}}\]\[ = {{{x^3}} \over {x + 1975}}.\left[ {{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{21 - x} \over {x + 1}}} \right]\]
\[ = {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{x + 1975} \over {x + 1}} = {{{x^3}\left[ {x + 1975} \right]} \over {\left[ {x + 1975} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = {{{x^3}} \over {x + 1}}\]
b. \[{{19x + 8} \over {x - 7}}.{{5x - 9} \over {x + 1945}} - {{19x + 8} \over {x - 7}}.{{4x - 2} \over {x + 1945}}\]\[ = {{19x + 8} \over {x - 7}}.\left[ {{{5x - 9} \over {x + 1945}} - {{4x - 2} \over {x + 1945}}} \right]\]
\[\eqalign{ & = {{19x + 8} \over {x - 7}}.\left[ {{{5x - 9} \over {x + 1945}} + {{2 - 4x} \over {x + 1945}}} \right] = {{19x + 8} \over {x - 7}}.{{x - 7} \over {x + 1945}} = {{\left[ {19x + 8} \right]\left[ {x - 7} \right]} \over {\left[ {x - 7} \right]\left[ {x + 1945} \right]}} \cr & = {{19x + 8} \over {x + 1945}} \cr} \]
Câu 33 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tính tích x, y , biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau [a, b là các hằng số] :
a. \[\left[ {4{a^2} - 9} \right]x = 4a + 4\]với a \[ \pm {3 \over 2}\] và \[\left[ {3{a^3} + 3} \right]y = 6{a^2} + 9a\] với a 1
b. \[\left[ {2{a^3} - 2{b^3}} \right]x - 3b = 3a\]với a b và \[\left[ {6a + 6b} \right]y = {\left[ {a - b} \right]^2}\] với a b
Chú ý rằng\[{a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2a.{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} = {\left[ {a + {b \over 2}} \right]^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0\].
Do đó nếu a 0 hoặc b 0 thì\[{a^2} + ab + {b^2} > 0\]
Giải:
a. Vì a \[ \pm {3 \over 2}\] nên\[4{a^2} - 9 \ne 0 \Rightarrow x = {{4a + 4} \over {4{a^2} - 9}}\]
Vì a 1 nên \[3{a^3} + a \ne 0 \Rightarrow y = {{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + a}}\]
Do đó: \[xy = {{4a + 4} \over {4{a^2} - 9}}.{{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + 3}} = {{4\left[ {a + 1} \right].3a\left[ {2a + 3} \right]} \over {\left[ {2a + 3} \right]\left[ {2a - 3} \right].3\left[ {{a^3} + 1} \right]}}\]
\[ = {{4a\left[ {a + 1} \right]} \over {\left[ {2a - 3} \right]\left[ {a + 1} \right]\left[ {{a^2} - a + 1} \right]}} = {{4a} \over {\left[ {2a - 3} \right]\left[ {{a^2} - a + 1} \right]}}\]
b. Vì a b nên \[2{a^3} - 2{b^3} \ne 0 \Rightarrow x = {{3a + 3b} \over {2{a^3} - 2{b^3}}}\]
Vì a b nên \[6a + 6b \ne 0 \Rightarrow y = {{{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {6a + 6b}}\]
Do đó: \[xy = {{3a + 3b} \over {2{a^3} - 2{b^3}}}.{{{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {6a + 6b}} = {{3\left[ {a + b} \right]{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {2\left[ {{a^3} - {b^3}} \right].6\left[ {a + b} \right]}}\]
\[ = {{{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {4\left[ {a - b} \right]\left[ {{a^2} + ab + {b^2}} \right]}} = {{a - b} \over {4\left[ {{a^2} + ab + {b^2}} \right]}}\]
Câu 34 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Rút gọn biểu thức:
a. \[{{{x^4} + 15x + 7} \over {2{x^3} + 2}}.{x \over {14{x^2} + 1}}.{{4{x^3} + 4} \over {{x^4} + 15x + 7}}\]
b. \[{{{x^7} + 3{x^2} + 2} \over {{x^3} - 1}}.{{3x} \over {x + 1}}.{{{x^2} + x + 1} \over {{x^7} + 3{x^2} + 2}}\]
Giải:
a. \[{{{x^4} + 15x + 7} \over {2{x^3} + 2}}.{x \over {14{x^2} + 1}}.{{4{x^3} + 4} \over {{x^4} + 15x + 7}}\]
\[ = {{\left[ {{x^4} + 15x + 7} \right].x.\left[ {4{x^3} + 4} \right]} \over {\left[ {2{x^3} + 2} \right].\left[ {14{x^2} + 1} \right].\left[ {{x^4} + 15x + 7} \right]}} = {{4x\left[ {{x^3} + 1} \right]} \over {2\left[ {{x^3} + 1} \right]\left[ {14{x^2} + 1} \right]}} = {{2x} \over {14{x^2} + 1}}\]
b. \[{{{x^7} + 3{x^2} + 2} \over {{x^3} - 1}}.{{3x} \over {x + 1}}.{{{x^2} + x + 1} \over {{x^7} + 3{x^2} + 2}}\]\[ = {{\left[ {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right].3x.\left[ {{x^2} + x + 1} \right]} \over {\left[ {{x^3} - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right]}}\]
\[ = {{3x\left[ {{x^2} + x + 1} \right]} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = {{3x} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}\]
Câu 35 trang 33 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Đố: Đố em điền được một phân thức vào chỗ trống trong đẳng thức sau :
\[{1 \over x}.{x \over {x + 1}}.{{x + 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {x + 3}}.{{x + 3} \over {x + 4}}.{{x + 4} \over {x + 5}}.{{x + 5} \over {x + 6}}.{{x + 6} \over {x + 7}}.{{x + 7} \over {x + 8}}.{{x + 8} \over {x + 9}}.{{x + 9} \over {x + 10}}.... = 1\]
Giải:
\[{1 \over x}.{x \over {x + 1}}.{{x + 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {x + 3}}.{{x + 3} \over {x + 4}}.{{x + 4} \over {x + 5}}.{{x + 5} \over {x + 6}}.{{x + 6} \over {x + 7}}.{{x + 7} \over {x + 8}}.{{x + 8} \over {x + 9}}.{{x + 9} \over {x + 10}}.{{x + 10} \over 1} = 1\]