Bài 3.4 trang 171 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a] \[\int {{x^2}\root 3 \of {1 + {x^3}} } dx\] với x > - 1 [đặt t = 1 + x3]
b] \[\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\] [đặt t = x2]
c] \[\int {{x \over {{{[1 + {x^2}]}^2}}}} dx\] [đặt t = 1 + x2]
d] \[\int {{1 \over {[1 - x]\sqrt x }}} dx\] [đặt \[t = \sqrt x \]]
e] \[\int {\sin {1 \over x}.{1 \over {{x^2}}}} dx\][Đặt \[t = {1 \over x}\]]
g] \[\int {{{{{[\ln x]}^2}} \over x}} dx\] [đặt \[t = \ln x\]]
h] \[\int {{{\sin x} \over {\root 3 \of {{{\cos }^2}x} }}} dx\] [đặt t = cos x]
i] \[\int {\cos x} {\sin ^3}xdx\][đặt t = sin x]
k] \[\int {{1 \over {{e^x} - {e^{ - x}}}}} dx\] [đặt \[t = {e^x}\]]
l] \[\int {{{\cos x + \sin x} \over {\sqrt {\sin x - \cos x} }}} dx\] [đặt \[t = \sin x - \cos x\]]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{1 \over 4}{[1 + {x^3}]^{{4 \over 3}}} + C\]
b\[- {1 \over 2}{e^{ - {x^2}}} + C\]
c] \[- {1 \over {2[1 + {x^2}]}} + C\]
d] \[\ln |{{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}| + C\]
e] \[\cos {1 \over x} + C\]
g] \[{1 \over 3}{[\ln x]^3} + C\]
h] \[- 3\root 3 \of {\cos x} + C\]
i] \[{1 \over 4}{\sin ^4}x + C\]
k] \[{1 \over 2}\ln |{{{e^x} - 1} \over {{e^x} + 1}}| + C\]
l] \[2\sqrt {\sin x - \cos x} + C\]
Bài 3.5 trang 171 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a] \[\int {[1 - 2x]{e^x}} dx\]
b] \[\int {x{e^{ - x}}dx} \]
c] \[\int {x\ln [1 - x]dx} \]
d] \[\int {x{{\sin }^2}xdx} \]
e] \[\int {\ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} } ]dx\]
g] \[\int {\sqrt x {{\ln }^2}xdx} \]
h] \[\int {x\ln {{1 + x} \over {1 - x}}dx} \]
Hướng dẫn làm bài
a] \[[3 - 2x]{e^x} + C\]
b] \[- [1 + x]{e^{ - x}} + C\]
c] \[{{{x^2}} \over 2}\ln [1 - x] - {1 \over 2}\ln [1 - x] - {1 \over 4}{[1 + x]^2} + C\].
d] \[{{{x^2}} \over 4} - {x \over 4}\sin 2x - {1 \over 8}\cos 2x + C\]
HD: Đặt u = x, dv = sin2xdx
e] \[x\ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} ] - \sqrt {1 + {x^2}} + C\] .
HD: Đặt \[u = \ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} ]\] và dv = dx
g] \[{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}[{[\ln x]^2} - {4 \over 3}\ln x + {8 \over 9}] + C\]
HD: Đặt \[u = {\ln ^2}x;dv = \sqrt x dx\]
h] \[x - {{1 - {x^2}} \over 2}\ln {{1 + x} \over {1 - x}} + C\]
HD: \[u = \ln {{1 + x} \over {1 - x}},dv = xdx\]
Bài 3.6 trang 172 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau:
a] \[\int {x{{[3 - x]}^5}dx} \]
b] \[\int {{{[{2^x} - {3^x}]}^2}} dx\]
c] \[\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \]
d] \[\int {{{\ln [\cos x]} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\]
e] \[\int {{x \over {{{\sin }^2}x}}} dx\]
g] \[\int {{{x + 1} \over {[x - 2][x + 3]}}dx} \]
h] \[\int {{1 \over {1 - \sqrt x }}} dx\]
i] \[\int {\sin 3x\cos 2xdx} \]
k] \[\int {{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\]
l] \[\int {{{\sin x\cos x} \over {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} }}} dx,[{a^2} \ne {b^2}]\]
HD: Đặt \[u = \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{[3 - x]^6}[{{3 - x} \over 7} - {1 \over 2}] + C\].
HD: t = 3 x
b] \[{{{4^x}} \over {\ln 4}} - 2{{{6^x}} \over {\ln 6}} + {{{9^x}} \over {\ln 9}} + C\]
c] \[- {{8 + 30x} \over {375}}{[2 - 5x]^{{3 \over 2}}} + C\].
HD: Dựa vào \[x = - {1 \over 5}[2 - 5x] + {2 \over 5}\]
d] \[\tan x{\rm{[}}\ln [\cos x] + 1] - x + C\]. HD: Đặt \[u = \ln [\cos x],dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\]
e] \[- x\cot x + \ln |\sin x| + C\] . HD: Đặt \[u = x,dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}}\]
g] \[{1 \over 5}\ln [|x - 2{|^3}{[x + 3]^2}{\rm{]}} + C\]
HD: Ta có \[{{x + 1} \over {[x - 2][x + 3]}} = {3 \over {5[x - 2]}} + {2 \over {5[x + 3]}}\]
h] \[- 2[\sqrt x + \ln |1 - \sqrt x |] + C\].
HD: Đặt \[t = \sqrt x \]
i] \[- {1 \over 2}[\cos x + {1 \over 5}cos5x] + C\] .
HD: \[\sin 3x.c\cos 2x = {1 \over 2}[\sin x + \sin 5x]\]
k] \[\cos x + {1 \over {\cos x}} + C\].
HD: Đặt u = cos x
l] \[{1 \over {{a^2} - {b^2}}}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} + C\]