Câu 38 trang 162 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O] bán kính bằng 2cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD.
Giải:
Trong tam giác ACD, ta có:
B là trung điểm của AC [gt]
O là trung điểm của CD
Nên OB là đường trung bình của ACD.
Suy ra: \[OB = {1 \over 2}AD\] [ tính chất đường trung bình của tam giác]
Vậy AD = 2. OB = 2.2 = 4 [cm].
Câu 39 trang 162 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình thang vuông ABCD \[\widehat A = \widehat D = 90^\circ ]\], AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm.
a] Tính độ dài AD.
b] Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.
Giải:
a] Kẻ BE CD
Suy ra tứ giác ABED là hình hình chữ nhật
Ta có: AD = BE
AB = DE = 4 [cm]
Suy ra: CE = CD DE = 9 4 = 5 [cm]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BCE ta có:
\[B{C^2} = B{E^2} + C{E^2}\]
Suy ra: \[B{E^2} = B{C^2} - C{E^2} = {13^2} - {5^2} = 144\]
BE = 12 [cm]
Vậy: AD = 12 [cm]
b] Gọi I là trung điểm của BC
Ta có: \[IB = IC = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.13 = 6,5 [cm]\] [1]
Kẻ IH AD. Khi đó HI là đường trung bình của hình thang ABCD.
Ta có: \[HI = {{AB + CD} \over 2} = {{4 + 9} \over 2} = 6,5\] [cm] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: IB = HI = R
Vậy đường tròn \[\left[ {I;{{BC} \over 2}} \right]\] tiếp xúc với đường thẳng AD.
Câu 40 trang 162 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O], bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a] Tứ giác OCAD là hình gì ? Vì sao?
b] Kẻ tiếp tuyến đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA = R.
Giải:
a] Gọi H là giao điểm của OA và CD
Vì CD là đường trung trực của OA nên:
CD OA và HA = HO
Mà CD OA nên HC = HD [đường kính dây cung]
Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Đồng thời CD OA nên ACOD là hình thoi.
b] Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC
Mà OC = OA [ = R] nên tam giác OAC đều
Suy ra: \[\widehat {COA} = 60^\circ \] hay \[\widehat {COI} = 60^\circ \]
Mà CI OC [tính chất tiếp tuyến]
Trong tam giác vuông OCI, ta có:
\[CI = OC.tg\widehat {COI} = R.tg60^\circ = R\sqrt 3 \].