Bài 3.9 trang 169 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng phương trình
a] \[{x^5} - 3x - 7 = 0\]luôn có nghiệm ;
b] \[\cos 2x = \sin x - 2\]có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \[\left[ { - {\pi \over 6};\pi } \right]\];
c] \[\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\]có nghiệm dương.
Giải:
a] Xét \[f\left[ x \right] = {x^5} - 3x - 7\]và hai số 0; 2.
b] Xét \[f\left[ x \right] = \cos 2x - 2\sin x + 2\] trên các khoảng \[\left[ { - {\pi \over 6};{\pi \over 2}} \right]{\rm{ , }}\left[ {{\pi \over 2};\pi } \right]\]
c] Ta có,
\[\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \]
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + 6x - 3\]liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] [1]
Ta có \[f\left[ 0 \right]f\left[ 1 \right] = - 3.4 < 0\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra phương trình \[{x^3} + 6x - 3 = 0\]có ít nhất một nghiệmthuộc [0; 1]
Do đó, phương trình \[\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\]có ít nhất một nghiệm dương.
Bài 3.10 trang 170 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Phương trình \[{x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\]có nghiệm hay không trong khoảng [-1; 3] ?
Giải:
Hướng dẫn:Xét \[f\left[ x \right] = {x^4} - 3{x^3} + 1 = 0\] trên đoạn [-1; 1]
Trả lời : Có.
Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :
a] \[\left[ {1 - {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} - x - 3 = 0\];
b] \[m\left[ {2\cos x - \sqrt 2 } \right] = 2\sin 5x + 1\]
Giải:
a] \[\left[ {1 - {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} - x - 3 = 0\]
\[f\left[ x \right] = \left[ {1 - {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} - x - 3\] là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]
Ta có \[f\left[ { - 1} \right] = - 1 < 0\]và \[f\left[ { - 2} \right] = {m^2} + 2 > 0\]nên \[f\left[ { - 1} \right]f\left[ { - 2} \right] < 0\]với mọim.
Do đó, phương trình \[f\left[ x \right] = 0\]luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng [-2; -1] với mọim. Nghĩa là, phương trình \[\left[ {1 - {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} - x - 3 = 0\]luôn có nghiệm với mọim.
b] \[m\left[ {2\cos x - \sqrt 2 } \right] = 2\sin 5x + 1\]
HD: Xét hàm số \[f\left[ x \right] = m\left[ {2\cos x - \sqrt 2 } \right] - 2\sin 5x - 1\]trên đoạn \[\left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right]\]